Как постепенно дошли люди до настоящей арифметики с таблицей

Подъ именемъ австрійскаго способа разумется такой, который хотя и похожъ на нашъ нормальный, но отличается отъ него большімъ примненіемъ устнаго счета. Австрійскій способъ можно считать шагомъ впередъ сравнительно съ нашимъ способом, въ немъ меньше шісьма и самое дйствіе совершается вслдствіе этого гораздо быстре, правда, есть въ немъ и неудобство: именно, человкъ, мало-мальски невнимательный, легко въ немъ сдлаетъ ошибку и собьется. Для примра возьмемъ 167585 : 365. Первая цифра частнаго будетъ 4; составляемъ произведеніе 365 на 4, начиная съ низшихъ разрядовъ, но не подписываемъ этого произведенія подъ длимымъ, а вычитаемъ каждый разрядъ его, какъ только онъ получится, и пишемъ прямо остатокъ: 4x5=20, слд. въ остатк 5; 4x6=24, да 2, 26, 6 изъ 7=1, слд. въ остатк 1; дале 3x4=12 да 2—14, 14 изъ 16 даетъ въ остатк 2; всего получится посл вычитанія 215; сносимъ слдующую цифру 3 и длимъ новое число 2153 такъ же, какъ и предыдущее, т.-е. одновременно производимъ умноженіе и вычитаніе.

Австрійская метода стала выдвигаться на первый планъ сравнительно недавно, съ средины XIX вка, но зачатки ея простираются вплоть до XVII вка; еще Вендлеръ даетъ образецъ такого сокращеннаго дленія.

Кегель въ XVII ст. даетъ боле грубую форму этого способа, такъ какъ онъ начинаетъ умноженіе съ высшихъ разрядовъ, а не съ низшихъ и ему приходится лишній разъ измнять цифры. Вотъ какъ у него идетъ дленіе 135513 на 21:

Наконецъ, Маурахеръ (XVIII в.) пользуется такимъ расположеніемъ вычисленія:

При этомъ частное 12345 помщается внизу, длитель 8 слва, а длимое 98760 праве длителя.

Испанскій способъ дленія.

Это самая употребительная, самая распространенная форма дленія. Теперь ея уже нтъ въ учебникахъ и объ ней не вспоминаютъ, но почти въ теченіе тысячи лтъ, съ IX вка до XIX, она являлась общеизвстной и популярной формой. Начало ей положили арабы; черезъ Испанію она была принесена въ Западную Европу и потому получила названіе «испанскаго» способа. Участь его можно сравнить съ той, которую пришлось испытать обученію грамот по методу: «буки азъ ба». Теперь этотъ методъ отжилъ свой вкъ и скоро о немъ, наврное, забудутъ, а въ свое время онъ пользовался общепризнаннымъ авторитетомъ и на немъ воспитывался длинный рядъ поколній: наши отцы, дды и прадды, и дды нашихъ праддовъ. Тоже случилось съ испанскимъ дленіемъ. Сколько надъ нимъ старались, сколько хлопотали надъ его усовершенствованіемъ, а сейчасъ его забыли. Правду сказать, горевать объ этомъ не приходится, потому что—то было дленіе длинное, сбивчивое и обильное всякими недоразумніями. Надо думать, что корень его скрывается въ индусской математик, судя по тому, что вычислять подобнымъ образомъ очень удобно было на песк, какъ то было принято у индусовъ. Когда же этотъ способъ сталъ примняться на бумаг, то получилось нчто несообразное по основной иде: цифры, которыя слдовало стирать, оставались нетронутыми (иногда зачеркивались), нагромождались другъ на друга и давали массу лишняго и безполезнаго письма. Приведемъ примры.

1) Примръ Альхваризми, араба IX столтія. Требуется 46468 раздлить на 324, частное 143.

Какъ видно, длимое въ средин; подъ нимъ помщается длитель и при томъ переписывается столько разъ, сколько цифръ въ частномъ; такое передвиженіе осталось, конечно, отъ вычисленій на песк, когда такъ легко было стирать цифры и писать ихъ еще разъ въ боле удобномъ положеніи; первая цифра частнаго будетъ 1, первый остатокъ 140 пишется надъ частнымъ; теперь надо длить 1406 на 324, въ частномъ будетъ 4; умноженіе 324 на 4 идетъ съ высшихъ разрядовъ и одновременно же происходитъ вычитаніе. Вотъ гд, между прочимъ, основаніе для австрійскаго способа, разобраннаго нами выше. Такъ какъ 3x4=12, то вычитаемъ 12 изъ 14-ти и иолучаемъ 2, которое и пишемъ надъ 4-мя; дале 2x4=8, 8 изъ 10=2, слд. надъ нулемъ надо помстить 2, а прежнюю цифру десятковъ 2 надо замнить новой 1, написавши эту 1 надъ двумя. Такъ дйствіе идетъ до самаго конца, т.-е. умноженіе производится съ высшихъ разрядовъ и сопровождается вычитаніемъ, при чемъ измненныя цифры переписываются выше.

2) Альнасави, арабскій писатель XI вка, нсколько упрощаетъ письмо и даетъ хоть небольшой просторъ устному счету. 2852:12 онъ ршаетъ такъ:

Интересно отмтить, какъ Альнасави изображаетъ частное. Цлое число 237 онъ пишетъ вверху, подъ нимъ остатокъ, а подъ нимъ уже длителя; все это считается обозначеніемъ смшанной дроби 237⁸/₁₂.

Греческій монахъ Максимъ Планудесъ, одинъ изъ немногихъ представителей византійской учености, даетъ еще боле легкій образецъ дленія, но, конечно, Планудесъ потому такъ легко справляется, что примръ-то самъ по себ не замысловатъ. 4865 : 5=973. Вычисленіе идетъ такъ:

4) Алькальцади, жившій въ XV ст., хотя и является заключительнымъ звеномъ въ блестящей цпи арабскихъ математиковъ, но все-таки не можетъ обойтись безъ того, чтобы не переписать длителя нсколько разъ даже въ легкомъ примр. 924 : 6 у него представляется въ такомъ вид:

3 2

9 2 4

6 6 6

——————

1 5 4