Кентерберийские головоломки

44. Вопрос состоял в том, чего больше взял брат Бенджамин: вина из бутылки или воды из кувшина. Оказывается, ни того, ни другого. Вина было перелито из бутылки в кувшин ровно столько же, сколько воды было перелито из кувшина в бутылку. Пусть для определенности бокал содержал четверть пинты. В бутылке была 1 пинта вина, а в кувшине – 1 пинта воды. После первой манипуляции в бутылке содержались ³/ ₄пинты вина, а в кувшине – 1 пинта воды, смешанная с ¹/ ₄пинты вина. Второе действие состояло в том, что удалялась ¹/ ₅содержимого кувшина, то есть ¹/ ₅одной пинты воды, смешанной с ¹/ ₅

одной четверти пинты вина. Таким образом, в кувшине были оставлены ⁴/ ₅четверти пинты (то есть ¹/ ₅пинты), тогда как из кувшина в бутылку было перелито равное количество ( ¹/ ₅пинты) воды.

45. В бочонке было 100 пинт вина, и Джон-келарь 30 раз отливал оттуда по пинте, наливая взамен пинту воды. После первого раза в бочонке оставалось 99 пинт вина; после второго раза его оставалось 9801/100 (квадрат 99, деленный на 100); после третьего раза в бочонке оставалось 970299/10000 (куб 99, деленный на квадрат 100); после четвертого раза там оставалась четвертая степень 99, деленная на куб 100, а после тридцатого раза в бочонке оставалась тридцатая степень 99, деленная на двадцать девятую степень 100. Это при обычном методе вычисления приведет к делению 59-значного числе на 58-значное! Однако с помощью логарифмов удается быстро установить, что в бочонке осталось количество вина, очень близкое к 73,97 пинты. Следовательно, украденное количество приближается к 26,03 пинты. Монахам, конечно, не удалось получить ответ, поскольку у них не было таблиц логарифмов и они не собирались проводить долгие и утомительные выкладки, дабы «в точности» определить искомую величину, что оговорил в условии хитрый келарь.

С помощью упрощенного метода вычислений я удостоверился, что точное количество украденного вина составило

26,0299626611719577269984907683285057747323737647323555652999

пинты. Человек, который вовлек монастырь в вычисление 58-значной дроби, заслуживал сурового наказания.

46. Правильным ответом будет 602 176. Такое число крестоносцев могло образовать квадрат 776x776. После того как к отряду присоединился еще один рыцарь, можно было образовать 113 квадратов по 5329 (73x73) человек в каждом. Другими словами, 113x(73) ²-1=(776) ². Это частный случай так называемого уравнения Пелля.

47. Читатель знает, что целые числа бывают простыми и составными. Далее, 1 111 111 не может быть простым числом, ибо если бы оно было таковым, то единственными возможными ответами оказались бы те, что предложил брат Бенджамин и отверг брат Питер. Точно так же оно не может разлагаться в произведение более двух простых сомножителей, ибо тогда решение оказалось бы не единственным. И действительно, 1 111 111 = 239x4649 (оба сомножителя простые); поскольку каждая кошка уничтожила больше мышей, чем всего было кошек, то кошек было 239 (см. введение).

В общем случае данная задача состоит в нахождении делителей (если они имеются) чисел вида (10 n –1)/9.

Люка в свой книге «Занимательная арифметика» приводит несколько удивительных таблиц, которые он позаимствовал из арифметического трактата под названием «Талкис», принадлежащего арабскому математику й астроному Ибн Албанна, жившему в первой половине XIII века. В Парижской национальной библиотеке имеется несколько манускриптов, посвященных «Талкис», и комментарий Алкаласади, который умер в 1486 г. Среди таблиц, приведенных Люка, есть одна, где перечислены все делители чисел указанного вида вплоть до п =18. Кажется почти невероятным, что арабы того времени могли найти делители при п= 17, приведенные во введении к настоящей книге. Но Люка утверждает, что они имеются в «Талкис», хотя выдающийся математик читает их по-другому, и мне кажется, что их открыл сам Люка. Это, разумеется, можно было бы проверить, обратившись непосредственно к «Талкис», но во время войны сделать это оказалось невозможно.

Трудности возникают исключительно в тех случаях, когда п– простое число. При п =

2 мы получаем простое число 11. Для п= 3, 5, 11 и 13 делители соответственно равны (3x37), (41x271), (21649x513 239) и (53x79x265371653). В этой книге я привел уже делители для п =7 и 17. Делители в случаях п= 19, 23 и 37 неизвестны, если они вообще имеются. [32]При п =29 делителями будут (3191x16 763x43 037x62 003x77 843x 839 397); при п= 31 одним из делителей будет 2791; при п =41 два делителя имеют вид (83x1231).

Что же касается четных и, то следующая любопытная последовательность сомножителей, несомненно, заинтересует читателя. Числа в скобках – простые.

п= 2 = (11)

п

= 6 = (11) x 111 x 91

п= 10 = (11) x 11 111 x (9091)

п=14 = (11) x 1 11l 111 x (909091)

п=18 = (11) x 111 111 111 x 90 909 091

Или мы можем записать делитель иначе:

п= 2 = (11) п =6 = 111 x 1001

п= 10 = 11 111x 100001

п= 14 = 1 111 111 x 10 000 001

п=18 = 111 111 111 x 1 000 000 001