Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Преобразования вида ->' (или ->') образуют ренормализационную группу^17в), впервые введенную в рассмотрение Штюкельбергом и Петерманом [237] (см. также [45, 140]). Инвариантность физических величин по отношению к этой группе преобразований можно использовать (см. § 20) для изучения асимптотического поведения функций Грина. Эффективнее всего это можно сделать, используя уравнение, полученное Калланом [59] и Симанзиком [239], которое рассматривается в следующем параграфе.

^17в) В действительности групповая структура возникает только в рамках заданной перенормировочной схемы. Если включить в рассмотрение преобразования вида (R₁->R), изменяющиеся при переходе от одной схемы к другой, то в результате возникает расслоенное пространство.

§ 12. Уравнение Каллана - Симанзика

Уравнение Кадлана — Симанзика (КС) проще всего получить, заметив, что неперенормированные величины _u, g_u, m_u, _u не зависят от значения параметра (скажем, в перенормированной схеме MS). Исходя из этого, на основании формул (11.5) и (11.6) немедленно получаем уравнение

d

d

_uD

(p

₁

,…,p

_N-1

;g

_uD

,m

_uD

,

_uD

)=0,

т.е.

{

+g

g

+(1-)

+

 

^q

m

_q

_m,q

m

_q

-

}

x

_R

(p

₁

,…,p

_N-1

;g,m,;)=0.

(12.1)

Здесь введены универсальные функции , _k и , определяемые соотношениями

d

d

g=g,

d

d

m

_q

=m

_q

_m,q

,

d

d

={1-}.

(12.2)

и

Z

_-1

=Z

_1/2

…Z

_1/2

^₁

^_N

,

Z

_-1

_d

Z

=

d

.

(12.3)

Функции , и можно вычислить, если использовать уравнение (9.10) и учесть, что величины g_u, m_u и _u не зависят от параметра :

=-Z

_-1

^g

_d

d

Z

_g

,

_m,q

=-Z

_-1

^m

d

d

Z

_m

,

=-Z

d

Z

_-1

d

.

(12.4)

Уравнение (12.1) в приведенном выше виде неудобно, так как содержит частную производную по параметру /. Но его можно представить в более удобной форме, если использовать соображения размерности. Предположим, что размерность величины _R равна ; тогда величина ^-_R является безразмерной¹⁹⁾, поэтому она может зависеть только от безразмерных отношений размерных параметров. Изменим масштаб импульсов, являющихся аргументами функции Грина, в раз: p_i->p_i. В результате получим

¹⁹⁾ Размерность полей, входящих в определение функции Грина, легко вычислить, если учесть, что действие =d⁴xL(x) безразмерно. Отсюда следует, что размерность кварковых полей [q]=[M]^3/2, полей духов []=[M], глюонных полей [B]=[M]. Размерность же функции Грина выражается через размерности полей, фигурирующих в её определении. Например, размерность фермионнного пропагатора _S=-1 (слагаемые 3/2+3/2 возникают из размерностей полей кварков, а 4 - из элемента объёма четырёхмерного пространства d⁴x).

^-

_R

(p

₁

,…,p

_N-1

;g,m,a

^-1

;) = F(p

₁

/,…,p

_N-1

/;g,m/,a

^-1

).

Чтобы отличать масштаб изменения импульсов от калибровочного параметра, последний обозначим через a=^-1. Теперь, заменяя частную производную / на производную -/, получаем уравнение Каллана-Симанзика

{

-

log

+g

g

+(a

^-1

)

a

^-1

+

 

^q

m

_q

(

_m,q

-1)

m

_q

+

-

}

x

_R

(p

₁

,…,p

_N-1

;g,m,,)=0.

(12.5)

Чтобы решить это уравнение, введем эффективные, или "бегущие", параметры, определяемые соотношениями

d

g

d log

=

g

(

g

) ,

d

m

d log

=

m

_m,q

 ,

d

a

^-1

d log

=

a

^-1

 ,

(12.6 а)

и удовлетворяющие граничным условиям

g

 

₌₁

=g ,

m

 

₌₁

=m ,

a

 

₌₁

=a .

(12.6 б)

Тогда решение уравнения Каллана—Симанзика можно записать в виде

_R

(p

₁

,…,p

_N-1

;g,m,;)

=

_R

(p

₁

,…,p

_N-1

;

g

,

m

,

a

^-1

;)

x exp

{

-

^log

₀

d log '

(

g

('),

m

('),

a

(')

^-1

)

}

.

(12.7)

Из этого выражения видно, что при изменении импульсов в раз функция Грина _R не умножается просто на величину как этого следовало ожидать из размерного анализа, а приобретает дополнительный множитель (экспоненту, стоящую в правой части (12.7)). Именно поэтому величину обычно называют аномальной размерностью функции Грина _R. С этой точки зрения ренормализационную группу можно интерпретировать как способ обеспечения масштабной инвариантности в квантовой теории калибровочных полей²¹⁾. Масштабная инвариантность таких теорий нетривиальна ввиду бесконечного характера проводимых перенормировок, в ходе которых вводится внешний по отношению к задаче масштаб масс.

²¹⁾ Такой подход к вопросу о ренормализационной группе развит в работах [60, 74].

Следует отметить, что выражение (12.7) справедливо всегда безотносительно к теории возмущений; однако на практике для получения реальных результатов необходимо использовать теорию возмущений.

§ 13. Перенормировка составных операторов

Для изучения структуры адронов используют внешние электромагнитные и слабые токи, поэтому необходимо рассмотреть не только функции Грина, но и матричные элементы различных составных операторов. Эти операторы можно разбить на две группы: сохраняющихся или частично сохраняющихся операторов и несохраняющихся операторов.

Сохраняющимся является, например, оператор электромагнитного тока J_em=Q_qV_q, где проводится суммирование по всем ароматам кварков, а операторы V_q имеют следующий вид:

V

^q

(x)=:

q

(x)

q(x): ;

и во всех порядках теории возмущений удовлетворяют условиям сохранения

 

V

(x)=0 .

^q

(13.1 а)