Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Аналогично можно вычислить бегущий калибровочный параметр. Подробное вычисление можно найти в работе [209]. Приведем лишь результат

Q

²

=

1-

1

 

( 1/2 log Q

²

/

²

)

^d

1+

9

39-4n

_f

·

1

 

( 1/2 log Q

²

/

²

)

^d

^-1

,

d

=

1

2

·

39-4n

_f

33-2n

_f

.

В заключение этого параграфа приведем результат вычисления эффективной массы m⁽²⁾ в двухпетлевом приближении [242]:

m

⁽²⁾

(Q

²

)

=

m

( 1/2 log Q

²

/

²

)

^d_m

1

-

₍₀₎

^m

₁

₂

⁰

·

log log Q

²

/

²

2log Q

²

/

²

+

1

2

₂

⁰

₍₁₎

^m

-

₍₀₎

^m

₁

₀

1

log Q

²

/

²

,

₍₁₎

^m

=

3

n

₂

^c -1

2n

 

^c

²

 

+

97

6

·

n

₂

^c -1

 

  4

-

5n_f (n

₂

^c -1)

3n

 

^c

,

(14.5 в)

где n_c = 3 (число цветов). В качестве примера использования развитой здесь техники приведем вывод импульсной зависимости кваркового пропагатора в пределе больших импульсов Q² >> ²

S

_R

(p,q,m,;) ,

p

²

=-Q

²

>>

²

.

Размерность кваркового пропагатора S_R равна _S=-1. Следовательно, замечая, что Z=Z_F (в пропагаторе S_R сохранены внешние линии: "усеченный" пропагатор S_R был бы просто равен S^-1_R, при условии p=n, n²=-² из уравнения (12.7) получаем

S

_R

(p,g,m,;)

=

S

_R

(p,

g

,

m

,

;)

Q²

²

^{- 1/2}

 

x

exp

-

^{log Q/}

 

₀

d

log'

1-

3

_g

(')

.

В ведущем приближении по _s выражение для кваркового пропагатора принимает вид

S

_R

(p,

g

,

m

,

;)

 

^Q2->

i

n

Используя формулу (14.4а), окончательно получаем

S

_R

(p,g,m,;)

 

^Q2>>2

i

p

·

1

( 1/2 log Q²/²)^dF

,

(14.6 а)

(Q²=-p²), где аномальная размерность кваркового поля записывается в виде

d

^F

=

3

2

·

(1-)C_F

11C_A-4T_Fn_f

=2

1-

33-2n_f

.

(14.6 б)

Таким образом, кварковый пропагатор S_R в пределе больших импульсов с точностью до логарифмических поправок (log Q/)^-d_F ведет себя аналогично пропагатору свободного кваркового поля. Отметим, что аномальная размерность кваркового поля d_F, как и ожидалось, зависит от калибровочного параметра и равна нулю в калибровке Ландау, в которой кварковый пропагатор имеет каноническую размерность.

Глава III. ПРОЦЕССЫ ГЛУБОКОНЕУПРУГОГО РАССЕЯНИЯ

§15. е⁺е^- -аннигиляция в адроны

Лагранжиан, описывающий сильное и электромагнитное взаимодействия кварков, можно представить в виде

L

_QCD+em

=

 

^q

{

i

q

D

q-m

_q

q

q

}

-

1

4

(DxB)

²

+

e

 

^q

Q

_q

q

qA

-

1

4

F

F

(15.1)

где Q_q - заряд кварка q в единицах заряда протона e. В формуле (15.1) опущены члены, фиксирующие калибровку и описывающие вклад духов. Электромагнитный ток кварков равен

J

=

 

^q

Q

_q

:

q

q: .

Рассмотрим некоторое адронное состояние . Сечение аннигиляции неполяризованных электрона e^- и позитрона e⁺ в адроны определяется как усредненная по спинам начальных электрона и позитрона сумма по всем возможным конечным состояниям адронной системы, возникающей в результате процесса e⁺e^-->. Для того чтобы вычислить эту сумму, рассмотрим матричный элемент

|S

_QCD+em

|e

⁺

e

^-

=| exp i

d

⁴

x

{

L

_int,QCD

(x)+L

_int,em

(x)

}

|e

⁺

e

^-

.

Проводя вычисления в низшем порядке теории возмущений по константе электромагнитного взаимодействия, получаем

|S

_QCD+em

|e

⁺

e

^-

=

-e²

2!

|

d

⁴

x

₁

d

⁴

x

₂

L

₀

^int,em

(x

₁

)L

₀

^int,em

(x

₂

)

x

exp i

d

⁴

xL

₀

^int,QCD

(x)|e

⁺

e

^-

.

Рис. 10. Диаграммы, описывающие процесс е⁺е^-->адроны.

Используя правила диаграммной техники Фейнмана для квантовой электродинамики и учитывая обозначения рис. 10, а, амплитуду интересующего нас процесса можно выразить в форме

F(e

⁺

e

^-

->)=

2e²

q²

v

(p

₁

,

₁

)

u(p

₂

,

₂

|J

(0)|0.

Суммируя по конечным адронным состояниям, для сечения e⁺e^--аннигиляции в адроны получаем

_h

(s)

=

 

(e

⁺

e

^-

->, s=(p

₁

+p

₂

)

²

)

=

2²

s³

4

²

l

 

(2)

⁴

(p

₁

+p

₂

-p

|J

(0)|0|J

(0)|0*.

(15.2)

Если пренебречь массой электрона, то тензор l можно записать в виде

l

=

1

4

 

^₁,₂

v

(p

₁

,

₁

)

u(p

₂

,

₂

)

[

v

(p

₁

,

₁

)

u(p

₂

,

₂

)]*

=

1

2

{q

q

-q

²

g

-

(p

₁

-p

₂

)

(p

₁

-p

₂

)

}.

Из приведенных формул видно, что нетривиальная часть выражения для сечения е⁺е^--аннигиляции в адроны связана с тензором

=

 

(2)

⁴

(p

₁

+p

₂

-p

)

0|J

(0)|

0|J

(0)|.

Используя полноту адронных состояний, в силу которой справедливо соотношение ||=1, выражение для тензора можно переписать в виде

=

d

⁴

x e

^iq·x

[J

(x),J

(0)]

₀

.

(15.3)

При выводе этой формулы использован закон сохранения энергии-импульса, благодаря которому слагаемые, отвечающие переставленным токам J, равны нулю. Удобно определить тензор выражением

(q)=

i

d

⁴

x e

^iq·x

J

(x)J

(0)

⁰

.

(15.4 а)

где p₁+p₂=q; нетрудно убедиться в справедливости соотношения =2Im ²³⁾: сечение e⁺e^- -аннигиляции в адроны связано с мнимой частью фотонного поляризационного оператора.

²³⁾ Простой, но несколько громоздкий способ убедиться в этом состоит в применении соотношений унитарности (2.8) и (2.9) к процессу рассеяния на нулевой угол e⁺e^-->e⁺e^- во втором порядке теории возмущений по константе электромагнитного взаимодействия.