Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Рассмотрим некоторую физически наблюдаемую величину P. Очевидно, она не должна зависеть от перенормировочной схемы, использованной в процессе вычислений. Однако если эту величину представить в виде ряда по степеням константы связи

P=

 

ⁿ

C

_n

(R)[

_s

(R)]

ⁿ

,

(16.1)

то коэффициенты C_n и константа связи _s будут зависеть от используемой схемы перенормировки R. Если перейти к новой перенормировочной схеме R' то связь между старой и новой схемами можно найти следующим образом. Разложим величину P, вычисленную в рамках новой перенормировочной схемы, в ряд по степеням константы связи _s(R') :

P=

 

ⁿ

C

_n

(R')[

_s

(R')]

ⁿ

,

(16.2)

Подставляя в формулу (16.2) выражение для _s(R'), записанное в виде ряда по константе _s(R), и приравнивая члены одинакового порядка в (16.2) и (16.1), найдем связь между коэффициентами, вычисленными в исходной и в новой перенормировочных схемах. Разложение константы _s(R') по степеням константы _s(R) можно записать в виде

_s

(R')=

_s

(R)

{1+a

₁

(R',R)(R)+…}.

Очевидно, что первым членом разложения является единица, так как в нулевом порядке теории возмущений _s=g²₂/(4) не зависит от выбора схемы. Это означает, что C_0,1(R)=C_0,1(R'). Но все остальные коэффициенты при переходе от одной перенормировочной схемы в другой изменяются:

C

₂

(R)=C

₂

(R')+a

₁

(R',R)C

₁

(R')

и т.д.

Рассмотрим, например, величну R, введенную в предыдущем параграфе²⁶. Если ее вычислить в схеме минимального вычитания (в которой устраняются только полюса 2/, а не вся комбинация N=2/-_E+log4), то вместо формулы (15.10) получим

²⁶Подробное обсуждение этого вопроса для процессов глубоконеупругого рассеяния можно найти в статье [27]

R

₍₂₎

^ms

(s)

=

3

_nf

^f=1

Q

₂

^f

1+

_s,ms(Q²)

+r

_2,ms

_s,ms(Q²)

²

 

,

r

_2,ms

=

r

₂

(log4-

_E

)

33-2n_f

12

.

(16.3)

Выражение для константы связи _s,ms также отличается от формулы (14.4в). Оно имеет вид

_s,ms

(Q

²

)

=

 12 

(33-2n_f)log Q²/²

x

1-3

153-19n_f

(33-2n_f)²

·

loglog Q²/²

1/2 log Q²/²

-

log4-_E

log Q²/²

.

(16.4)

Можно сохранить формулу (14.4в) для константы связи _s, если определить новый параметр обрезания _ms следующим образом:

₂

^ms

=

e

^{_E-log 4}

²

.

(16.5)

Тогда выражение (16.4) запишется в виде

_s,ms

(Q

²

)

=

12

 

 

(33-2n_f)log Q²/

₂

^ms

1-3

153 -19n_f

(33-2n_f)²

·

loglog Q²/

₂

^ms

1/2 log Q²/

₂

^ms

.

(16.6)

с точностью до членов порядка O([_s]³).

К сожалению, часто забывают об этом простом факте: параметры теории можно получить только во втором порядке теории возмущений; в низшем же порядке параметры и _ms взаимозаменяемы, так как возникающая при этом ошибка второго порядка малости. Кроме того, когда приводят значение, например величины (то же справедливо и для эффективной массы m), надо указывать, в рамках какой перенормировочной схемы получено это значение. Как параметр обрезания , так и эффективная масса m являются ренормин-вариантными величинами, но они меняются при переходе от одной схемы к другой. В этой книге в основном используется перенормировочная схема MS вследствие ее простоты. В ней не возникает трансцендентных выражений (типа -_E+log4). К тому же эта схема, вообще говоря, приводит к малым поправкам во втором порядке теории возмущений. Например, в схеме минимального вычитания для величины r_2,ms имеем

r_2,ms7,4 - 0,44n_f

в то время как в перенормировочной схеме MS эта величина имеет значение 2,0 - 0,12n_f.

В этой схеме предпочтительное экспериментальное значение параметра обрезания равно

0,13

_+0,07

^-0,05

ГэВ.

Это соответствует значению _ms = 0,05 ГэВ. Значения эффективных кварковых масс равны

10m

_u

5МэВ,

20m

_d

10МэВ,

400m

_s

200МэВ.

Численное значение параметра обрезания можно было бы найти, сравнивая вычисленное теоретически значение величны R с измеренным значением, но точность экспериментальных данных довольно мала (рис. 11). Для этой цели можно использовать другие процессы, например процессы глубоконеупругого рассеяния электронов или нейтрино или распады кваркониев и Y. Определение эффективных масс кварков рассматривается в § 32.

§17. Кинематика процессов глубоконеупругого рассеяния; партонная модель

Рассмотрим процесс l+h->l'+all, где l и l' —лептоны, h -адронная мишень, а символ all обозначает суммирование по всем возможным конечным состояниям (рис. 12, а). Если начальный и конечный лептоны совпадают, т.е. l=l'=e (электрон) или (мюон), (рис. 12, 6) то этот процесс представляет собой исследование адрона h в низшем порядке теории возмущений по электромагнитному взаимодействию, а соответствующим оператором является электромагнитный ток

J

^em

=

 

^q

Q

_q

q

q;

L

_int,em

=eJ

^em

A

.

Рис. 12. Диаграммы, описывающие процесс глубоконеупругого рассеяния.

Если l= (нейтрино), a l'= (мезон) (рис. 12, в ), то процесс обусловлен слабым заряженным током

J

^w

=

u

(1-

₅

)d

+

c

(1-

₅

)d

_s

+… ,

L

_int,w

=

1

22

g

_w

J

^w

W

;

константа слабого взаимодействия g_w удовлетворяет соотношению g²_w/M^2w=42G_F, где G_F = 1,027^-1_протон, М_w - масса векторного бозона, а

d

=d cos

_C

+ s sin

_C

,

s

= - d sin

_C

+ s cos

_C

.