Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Если l=l'= (нейтрино), то процесс вызван слабым нейтральным током (рис. 12, г); тогда в стандартной теории электрослабых взаимодействий имеем

J

^Z

=

1

2

-

4sin²_w

3

u

u+

-

1

2

+

2sin²_w

3

d

d

+

1

2

u

₅

u

-

d

₅

d

L

_int,Z

=

 e 

2cos_wsin_w

J

^Z

Z

,

где sin² = 0,22.

Введем бьеркеновские переменные

Q

²

=-q

²

,

=p·q ,

x=Q

²

/2 ;

заметим, что ведачину s в бьеркеновских переменных можно записать в виде

s=p

₂

=-Q

²

+m

₂

^h

+2=2{1+m

₂

^h

/2-x} .

Предел глубоконеупругого рассеяния, или бьеркеновский предел, соответствует значениям Q² , >>² при фиксированном х = Q²/2. Используя стандартные правила диаграммной техники, амплитуду рассеяния, например, для случая e/ можно записать в виде

_e+h->e+

=

2

q²

u

(k',')

u(k,)

x

(2)

²

(p+q-p

)

|J

(0)|p, .

(17.1)

Здесь (') — спины падающего (рассеянного) электрона, а - спин адрона-мишени h. Отметим ковариантный характер нормировки векторов состояний (см - приложение Ж):

p','|p,

=

2p

⁰

_'

(

p-

p').

Для неполяризованных частиц сечение процесса e+h->e+all выражается через лептонный L и адронный W тензоры (массами лептонов мы всюду пренебрегаем)^26а)

^26а Множители 1/2 в формулах (17.2) возникают в результате усреднения по спину исходного нуклона и "спиральности" виртуального фотона.

L

=

1

2

 

^'

u

(k',')

^u

u(k,)

[

u

(k',')

^u

u(k,)]

^*

=

2(k

k'

+k

k'

-k·k'g

) ,

W

(p,q)

=

1

2

1

2

 

 

(2)

⁶

(p+q-p

)

p,|J

(0)

⁺

|

x

|J

(0)|p,.

(17.2 а)

Конечно, эрмитово-сопряженный электромагнитный ток J⁺ удовлетворяет равенству J⁺=J, но мы записали выражение (17.2а) в общем виде, справедливом и для процессов, обусловленных слабыми токами. Выражение (17.2а) можно записать в другом виде ^26б

^26б) В эквивалентности такой записи можно убедиться, вставив в формулу (17.2 б) сумму по полному набору состояний || и заметив, что в силу закона сохранения энергии-импульса вклад второго слагаемого равен нулю.

W

(p,q)=

1

2

(2)

²

d

⁴

ze

^iq·z

p|[J

(z)

⁺

,J

(0)]|p,

(17.2 б)

где подразумевается усреднение по спину адрона-мишени .

Рассмотрим общий случай слабых или электромагнитных токов. Общее выражение для тензора W, записанное в терминах инвариантов, характеризующих процесс рассеяния, имеет вид

W

(p,q)

=

(-g

+q

q

/q

²

)W

₁

+

 

1

m

₂

^h

(p

-p

/q

²

)(p

-q

/q

²

)W

₂

+

i

 

pq

2m

₂

^h

W

₃

.

(17.3)

Другие возможные члены при свертке с лептонным тензором L обращаются в нуль. Соответствующие сечения рассеяния в лабораторной системе отсчета (в которой адрон h покоится) имеют вид^26в)

^26в) Все формулы относятся к процессам рассеяния электронов. Формулы для рассеяния -мезонов аналогичны. Для случая рассеяния нейтрино мы будем рассматривать только процессы, вызванные заряженными токами.

d^e

ddk'₀

=

₂

 

4m_hk

₂

⁰ sin⁴(/2)

W

_e

²

cos

²

2

+2W

_e

¹

sin

²

2

,

(17.4 а)

d^/

ddk'₀

=

G

₂

^F k'

₂

⁰

2²m

 

^h

W

_±

²

cos

²

2

+2W

_±

¹

sin

²

2

±

k⁰+k'⁰

2m_h

W

_±

³

,

(17.4 б)

где — угол между векторами k и k' , d= d cos d, в формуле (17.4 б) знаки +(—) относятся к рассеянию , G_F — постоянная Ферми, которую можно выразить через константу связи и массу W-бозона:

G

_F

=

2

g

₂

^w

/8M

₂

^w

.

Функции Wi являются инвариантами и зависят от переменных Q² и . Удобно определить структурные функции ²⁷⁾

²⁷⁾ Определенные таким образом функции fi несколько отличаются от стандартных функций F, а именно f₁=2xF₁, f₂=F₂, f₃=F₃. Такой способ введения структурных функций упрощает уравнения КХД, которые будут выписаны ниже. (Функции f называются структурными, так как в системе бесконечного импупьса они описывают вероятность обнаружения в адроне партона с долей импупьса x . — Прим. перев.)

f

_a

¹

(x,Q

²

)=2xW

_a

¹

,

f

_a

²

(x,Q

²

)=

 

m

₂

^h

W

_a

²

,

f

_a

³

(x,Q

²

)=

Q²

2m_h

W

_a

³

,

(17.5)

где индекс а обозначает процессы ( e/h, h, h. Иногда вместо структурной функции f^a₁ используется продольная структурная функция

Формулу (17.3) удобно переписать в терминах структурных функций f^a_i, небрегая импульсами q и q (которые при свертке с лептонным тензором L обращаются в нуль)^27а):

^27а) В этом параграфе 4-вектор в координатном пространстве обозначен буквой z в отличие от бьеркеновской переменной x .

1

2 (2)² d⁴z e^iq·z p|[J

^a (z)⁺,J

^a (0)]|p

=

 

q² gf

_a

¹ +

pp

f

_a

² +i

qp

q² f

_a

³

=-

g

q² f

_a

^L +

 

q² g+

pp

f

_a

² +i

qp

q² f

_a

³ .

(17.7)

В случае e⁺e^- -аннигиляции удобно рассматривать хронологичесжое произведение адронных токов

^q

(p,q)=

i

(2)

³

d

²

z e

^iq·z

p|

J

^a

(z)

⁺

J

^a

(0)|p.

(17.8 а)

Если тензор записать в виде

^a

=

q²

g

_a

¹

(x,Q

²

)+

pp

_a

²

(x,Q

²

)

+

i

qp

q²

_a

³

(x,Q

²

),

(17.8 б)

то, как показано на рис. 12, д, е,

f

_a

ⁱ

=

1

2

Im

_a

ⁱ

.

(17.8 в)

Рассмотрим бьеркеновский предел в так называемой системе бесконечного импульса:

p=(p

⁰

,0,0,p

⁰

);

q=(/2p

⁰

,

Q

²

,0,/2p

⁰

);

p

⁰

^1/2

-> .

(17.9)

Записав произведение q·z в виде

q·x=

1

2

(q

⁰

-q

³

)(z

⁰

+z

³

)+

1

2

(q

⁰

+q

³

)(z

⁰

-z

³

)-

q

¹

z

¹

,

мы видим, что случай z·q=0 в бьеркеновском пределе соответствует приближенным соотношениям

z

⁰

±z

³

1/

^1/2

,

z

¹

1/

^1/2

.

Иными словами z²->0 ²⁸⁾.