Читаем Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов полностью

Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

^-0.006

ГэВ

⁴

(32.7)

Эта ограничения не учитывают возможные ошибки в определении значения вакуумного среднего _sG^2 . Если добавить и их, то получим ограничение снизу

>=13 МэВ .

(32.8)

Во всяком случае, это ограничение совместимо в пределах ошибок с ограничениями (31.7), хотя некоторое предпочтение отдается большим массам кварков.

Этот метод можно использовать не только для получения ограничений на массы кварков, но и для оценки их значений. С этой целью в рамках той или иной модели вычисляют функцию Im ⁵_ij(t), для которой при больших t используют выражение, полученное из КХД, а низкоэнергетическую часть параметризуют (одним или несколькими) резонансами. Таким способом получена оценка [169, 254, 284*]

>=(20±6) МэВ ,

(32.9)

Недавно был развит альтернативный метод [210], который можно рассматривать как основанное на КХД улучшение классических оценок, полученных в работе [192]. Этот метод позволил получить приближенное значение m_u+m_d(27±8) МэВ при параметре обрезания =130 ± 50 МэВ. Как было указано выше, мы получаем массы кварков, согласующиеся с оценками (31.7), но смещенные в сторону больших значений. Между прочим, эти оценки показывают, что ограничение (32.6) является очень строгим, и, возможно, приближенное равенство

1/2

₂

3G^2^1/2

по крайней мере в некотором пределе, является точным.

§ 33. Распад ⁰->; аксиальная аномалия

Одно из первых указаний на существование цветовых степеней свободы было получено при изучении распада ⁰->, к детальному рассмотрению которого мы теперь переходим.

Используя редукционные формулы, амплитуду этого распада можно записать в виде

₁

),(k

₂

)

|S|

⁰

(q)

-ie²

(2)^9/2

₁

)

₂

)

⁴

₁

⁴

₂

⁴

^{i(x₁·k₁+x₂·k₂-z·q)}

(

₂

^em

₁

)

^em

₂

)

_⁰

(z)

₀

(33.1)

где принято

(x)=J

^em

(x),

A — поле фотонов^48а). Выделяя дельта-функиию (k₁+k₂+q), получаем

^48а) Мы оставляем читателю в качестве упражнения доказательство этого равенства, а также равенства

₂

_x1

₂

_x2 TA(x₁)A(x₂)(z) = T(^2A(x₁)^2A(x₂))(z) , означающего, что возможные члены, в которых производные действуют на функцию ⁰₁-z⁰ в хронологическом произведении, приводят к вкладам, равным нулю.

⁰

)->(k

₁

),(k

₂

))

-m

₂

)

₁

)

₂

)

₂

) ,

(33.2а)

где вакуумное среднее

₂

)

⁴

^{i(x·k₁+y·k₂)}

(x)J

(y)

_⁰

(0)

₀

₁

₂

(33.2б)

Всюду в дальнейшем при токе J подразумевается индекс em, обозначающий электромагнитное взаимодействие. Теперь можно использовать соотношение (31.1), обобщив его так, чтобы включить поля ⁰-мезонов:

(x)

₂

_⁰

(x),

(x)

₅

u(x)

(x)

₅

d(x),

(33.3)

и записать с его помощью равенства

₁

₂

)

₂

₁

₂

₁

₂

)

⁴

^{i(x·k₁+y·k₂)}

(x)J

(0)A

₃

(0)

₀

(33.4)

До сих пор все вычисления были точными. Следующий же шаг связан с применением гипотезы частичного сохранения аксиального тока (ЧСАТ), сформулированной в таком виде: предполагается, что в пределе q^2->0 амплитуду F(->) можно аппроксимировать ее ведущим членом. Из чисто кинематических соображений видно, что при этом также q, k₁, k₂ -> 0. Тогда можно написать

₁

₂

)

₁

₂

+O(k

(33.5)

Гипотеза частичного сохранения аксиального тока означает, что в выражении (33.5) мы сохраняем только первый член. Ниже будет показано, что это приводит к противоречию, для разрешения которого необходимо ввести так называемую аксиальную аномалию, что позволит точно вычислить тензор T во всех порядках теории возмущений (в приближении ЧСАТ).

Первый шаг состоит в рассмотрении величины

₁

₂

)

⁴

^{i(x·k₁+y·k₂)}

(x)J

(y)A

(0)

₀

(33.6)

Исходя только из требования лоренц-инвариантности, для нее можно написать общее разложение

₁

₂

)

₁

₂

+O(k^3),

(33.7)

где члены O(k^3) имеют вид k_ik_ik_l_lij + три перестановки, и для случая m/=0 функция является регулярной в пределе k_i->0. Сохранение электромагнитного тока J=0 приводит к равенствам

₁

₂

=0;

(33.8)

первое из этих равенств обеспечивает выполнение соотношения

₁

O(k^2),

(33.9а)

а второе - соотношения

₂

O(k^2),

(33.9б)

Но из формул (33.4) и (33.6) следует равенство

₁

₂

)

₁

₂

), т.е. =

₂

₁

(33.10)

и, следовательно, учитывая выражения (33.9) , получаем результат [238, 255]

=O(k^2).

(33.11)

Импульс k имеет величину порядка m откуда следует оценка ². По это противоречит эксперименту и, что еще хуже, противоречит результату прямого вычисления. Действительно, используя уравнение движения, можно написать

(3)=2i

(x)

₅

u(x)

(x)

₅

d(x)

(33.12)

Рис. 25. Диаграммы с аномалиями (а, б) и диаграммы, не содержащие аномалий (в, г).

Проведем вычисления в нулевом порядке теории возмущений по константе связи _s ; очевидно, что в этом порядке выражение (33.11) должно быть справедливо. Этому соответствуют диаграммы рис. 25, а. Результат, полученный впервые в работе [234], в пределе k₁,k₂->0 при _u=1, _d=-1 имеет вид