Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

)

[(p+k

₁

)^2-m

₂

^f

](p^2-m

₂

^f

[(p-k

₂

)^2-m

₂

^f

]

=

-1

4^2

k

₁

k

₂

3(Q

₂

^u

-Q

₂

^d

)

+O(k

⁴

)

=

-1

4^2

k

₁

k

₂

+O(k

⁴

)

Множитель 2 в первом выражении является следствием учета "кросс" диаграмм; множитель 3 возник из суммирования по цвету. Таким образом, получаем

=

-1

4^2

(33.13)

что противоречит результату (33.11). Это и составляет содержание треугольной аномалии [7, 36].

В чем скрыто противоречие? Очевидно, что нельзя сохранить выражение (33.12), которое получено с использованием уравнения движения для свободных полей iq=mq ; необходимо допустить, что в присутствии векторных полей (в данном случае фотонного поля) выражение (33.12) не справедливо. Чтобы получить согласие с формулой (33.13), необходимо написать [7]

A

³

(x)

=

2i

m

_u

u

(x)

₅

u(x)

-

m

_d

d

(x)

₅

d(x)

+

3(Q

₂

^u

-Q

₂

^d

)

e^2

16^2

F

(x)

F

(x),

(33.14)

где дуальный тензор F определяется формулой

F

=

1

2

F

 ,

F

=

A

-

A

,

где A — фотонное поле. Для более общего случая фермионных полей f, взаимодействующих с векторными полями с константой взаимодействия h_f , справедливо выражение

f

₅

f

=

2im

_f

f

₅

f+

T_Fh^2

8^2

H

H

;

(33.15)

здесь H — тензор напряженностей векторных полей. Вернемся к рассмотрению распада ⁰->. Из (33.13) в пределе ЧСАТ m~0 вычислим амплитуду распада

F(

⁰

->2)

=

·

k

₁

k

₂

(k

₁

,

₁

)

(k

₂

,

₂

)

(q

²

-m

₂

)

2

fm

₂

(33.16)

и ширину распада

(

⁰

->)

=

^2

1

64

·

m

₃

f

₃

7,25·10

^-6

МэВ,

которую следует сравнить с экспериментально полученным значением

_exp

(

⁰

->)

=

7,95x10

^-6

МэВ .

В действительности можно определить и знак амплитуды распада (используя метод Примакова), который согласуется с теоретическими предсказаниями. Важно отметить, что если бы не было цветовых степеней свободы, то результат был бы в (1/3)² раза меньше и отличался бы от экспериментального значения на целый порядок величины.

Можно поставить вопрос о том, насколько достоверны эти вычисления. В конце концов, они выполнены в нулевом порядке теории возмущений по константе связи _s . На самом деле этот расчет верен во всех порядках теории возмущений КХД ^48б); единственное приближение состоит в использовании гипотезы ЧСАТ m0. Чтобы убедиться в этом, приведем альтернативный метод получения основного результата (33.13). Для этого вернемся к выражению (36.6). В нулевом порядке теории возмущений по константе связи _s имеем

^48б) В действительности этот расчет верен во всех порядках теории возмущений для любого взаимодействия, подобного векторному. Доказательство этого факта в основном содержится в работе [9] (см. также [25, 80, 268]).

R

=

_f

Q

₂

^f

d⁴p

(2)⁴

·

·

Tr

₅

(

p

+k

₁

+m

_f

)

(

p

+m

_f

)

(

p

-

k

₂

+m

 

^f

)

((p+k

₁

)

²

-m

₂

^f

)(p

²

-m

₂

^f

)((p-k

₂

)

²

-m

₂

^f

)

+

вклад "кросс"-диаграммы

(рис. 25,6) В общем случае можно рассматривать произвольный аксиальный треугольник, которому соответствует выражение

R

^ijl

=2

d^Dp

(2)^D

·

Tr

₅

(

p

+k

₁

+m

_f

)

(

p

+m

_f

)

(

p

-k

₂

+m

_f

)

[(p+k

₁

)^2-m

₂

^f

](p^2-m

₂

^f

[(p-k

₂

)^2-m

₂

^f

]

(33.17)

Нам нужно вычислить величину qR . Используя равенство

(

k

₁

+

k

₂

)

₅

=-

(

p

-

k

₂

-m

_l

)

₅

+

(

p

+

k

₁

-m

_i

)

₅

-

(m

_i

+m

_l

)

₅

,

приходим к результату

q

R

^ijl

=

-2(m

_i

+m

_l

)

x

d⁴p

(2)⁴

Tr

₅

(

p

+

k

₁

+m

_i

(

p

+m

_j

)

(

p

-

k

₂

+m

 

^l

)

((p+k

₁

)^2-m

₂

ⁱ

)(p

²

-m

₂

^j

)((p-k

₂

)

²

-m

₂

^l

)

+

a

^ijl

(33.18а)

a

^ijl

=

2

d

^D

p Tr{(

p

-

k

₂

-m

_l

)

₅

(

p

+

k

-m

_i

)

₅

}

x

1

p+k₁-m_i

1

p-m_j

1

p-k₂-m_l

·

(33.18б)

Первый член в (33.18а) соответствует тому, что мы получили бы при непосредственном использовании уравнений движения q_i5q_l = i(m_i+m_l)q_i5q_l ; второй член описывает аномалию. Приняв в пространстве размерности D для -матриц коммутационные соотношения {,₅}=0, второе слагаемое в формуле (33.18а) можно записать в виде

a

^ijl

=

-2

d

^D

p

Tr

₅

1

p+k₁-m_i

1

p-m_j

+

Tr

₅

1

p-m_j

1

p-k-m_l

.

(33.18в)

Отсюда заключаем, что тензор a равен нулю, так как каждый член выражения (33.18в) представляет собой антисимметричный тензор, зависящий от единственного вектора (первый член зависит от вектора k₁ , второй — от вектора k₂), который обращается в нуль. Между прочим, отсюда видно, что тензор a фактически не зависит от масс, так как производная (/m)a сходится, и, таким образом, это доказательство применимо. Следовательно, можно написать a_ijla, где тензор a получается из исходного тензора, если в нем массы всех частиц положить равными нулю. Аналогичные аргументы показывают, что тензор a должен иметь вид

a

=a

k

₁

k

₂

, a=constant,

(33.19а)

так что величину a можно получить двойным дифференцированием тензора a:

a=

²

k₁k₂

a

_ki=0

.

(33.19б)

Из этих рассуждений и из выражения (33,18в) следует равенство a0, противоречащее теореме Велтмана — Сатерленда.

Оказывается, что вывод о тождественном равенстве нулю величины a фактически является иллюзорным. Если провести замену переменных, например p->p+k₂ , в интеграле (33.18в), то мы получим конечный не равный нулю результат, зависящий от параметра : a=-/(2^2). Отсюда видно, что коммутационные соотношения {,₅}=0⁴⁹⁾ приводят к неопределенному значению аномалии. Однако если начать с формулы (33.186) и не предполагать антикоммутативности матриц и ₅, то получим