Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

Поскольку функция A_f(x,) в пределе ->0 расходится как 1/, второй член в правой части в этом пределе не равен нулю. Точные вычисления [80, 268] показывают, что, как и ожидалось, окончательный результат совпадает с (33.14).

Обсуждение вопроса о токах с аномалиями для любого типа взаимодействий можно найти в работе [263].

Аномалиями обладают не только аксиальные токи. След тензора энергии-импульса также представляет собой аномалию, обусловленную тем, что в процессе перенормировки нарушается масштабная инвариантность . Этот круг вопросов подробно обсуждается в работе [60], а в контексте КХД — в работе [74]. Но эта аномалия довольно безобидна; действительно, ее анализ тесно связан с ренормализационной группой.

§ 34. Распады мезонов: эффекты, обусловленные массами кварков

1. Легкие кварки и радиационные распады

Рассмотрим радиационные распады мезонов^49б)

^49б) Подробное описание общих свойств этих распадов можно найти в книге [198].

⁺

->l

⁺

_l

,

K

⁺

->l

⁺

_l

,

l=e, ,

которые тесно связаны с процессом ⁰->. Мы рассмотрим первый из этих распадов; распад K+-мезона может быть исследован тем же методом с очевидными изменениями (замена s-кварка на d-кварк и т.д.).

Рис. 26. Процесс ->(l_l)_вектор+.

Этот распад происходит в два этапа: на первом из них лептонный ток аксиален, а на втором он носит векторный характер. Последний связан с вакуумным средним (обозначение кинематических переменных см. на рис. 26):

T

^W

(p,k)

=

d

⁴

x

d

⁴

y

e

^i(x·p+y·k)

TV

(x)J

(y)A(0)

₀

,

(34.1)

где, как и раньше, J - электромагнитный ток, а A и V определяются формулами

V

=

u

d,

A

=

d

u.

Использование уравнений движения приводит к равенствам

V

=

i(m

_u

-m

_d

)

u

d,

(34.2)

A

=

i(m

_u

+m

_d

)

d

₅

u.

(34.3)

Дивергенция электромагнитного тока, конечно, равна нулю. Как и при изучении распада ⁰->, рассмотрим вакуумное среднее

R

^W

(p,k)=i

d

⁴

x

d

⁴

y

e

^i(x·p+y·k)

TV

(x)J

(y)A

(0)

₀

,

(34.4)

которое представим в виде

R

^W

(p,k)

=

p

₁

+

k

₂

+O(p^3,k^3).

(34.5)

Свертка этого выражения с компонентой импульса k приводит к равенству ₁=0, но если массы кварков m_u и m_d различны, то требовать выполнения равенства pR=0 нельзя. Вместо этого имеют место равенства

p

R

=

p

k

₂

,

q

R

=

p

k

₂

.

Таким образом, мы приходим к соотношению

p

R

=

q

R

.

(34.6)

Учитывая формулу (34.2), для левой и правой частей получаем

p

R

=

i(m

_b

-m

_u

)

d

⁴

x

d

⁴

y

e

^i(x·p+y·k)

TS(x)J

(y)A

(0)

₀

,

(34.7)

q

R

=

i(m

_d

+m

_u

)

d

⁴

x

d

⁴

y

e

^i(x·p+y·k)

TP(0)J

(y)V

(x)

₀

+a

,

(34.8)

где использованы обозначения

S(x)

u

(x)d(x),

P(x)

d

(x)

₅

u(x),

а тензор a представляет собой аномалию. Если ввести тензор S по формуле S=pR, то из уравнений (34.6) и (34.8) получим

T

^W

+S

=a

.

Как показано в § 33, тензор a не зависит от масс кварков, и поэтому окончательно получаем

T

^W

+S

=

-1

2^2

p

k

.

(34.9)

Если бы масса u-кварка m_u была равна массе d-кварка m_d, то тензор S был бы равен нулю и мы получили бы

T

^W

=

T

=

-1

2^2

p

k

.

(24.10)

т.е. векторная часть распада ⁺->e⁺ с точностью до известных факторов была бы равна амплитуде распада ⁰

-> (см., например, [ 8 ]). Поскольку массы u- и d-кварков не равны (m_u/=m_d) в соотношение (34.10) должны быть внесены поправки. В общем случае вычислить их не удается, но есть одна ситуация, для которой точный результат может быть доказан во всех порядках теории возмущений квантовой хромодинамики^49в). Если m_u=0, то преобразования

^49в) См. работу [38]. В отличие от случая аномалии неизвестно, влияют ли на этот результат непертрубативные поправки.

u->

₅

u,

d->d

являются преобразованиями симметрии для лагранжиана КХД. При этих преобразованиях

S

⁺

->P,

A->V,

и, таким образом, справедливо равенство T_W=S. Поэтому мы модифицируем выражение (34.10) так, чтобы оно имело вид

T

^W

=

-1

4

p

k

,

(34.11)

т.е. введем множитель 1/2 в амплитуду и коэффициент 1/4 в ширину распада. Хотя имеются некоторые экспериментальные указания на существование этого эффекта, данный вопрос пока недостаточно изучен, и мы о нем говорить больше не будем.

2. Тяжелые кварки и механизм ГИМ

В § 33 были рассмотрены главным образом легкие кварки, т. е. кварки, массы которых малы по сравнению с . Теперь же мы рассмотрим тяжелые кварки, массы которых удовлетворяют условию m>>. К их числу принадлежат кварки c и b.

В отличие от случая легких кварков здесь едва ли можно ожидать выполнения предположения о гладкости функций, несколько вольно называемого гипотезой ЧСАТ. Таким образом, необходимо обратиться к какому-то другому источнику информации о массах тяжелых кварков.

Первое замечание состоит в том, что кажется маловероятным, чтобы приблизительное равенство вакуумных средних

u

u

d

d

s

s

могло быть распространено на величины cc bb. Однако мы ожидаем выполнения неравенств

_s

G^2

^1/4

,

|

q

_h

q

_h

|

^1/3

_h

, h=c,b .

Если принять эти предположения, то очевидно, что большую часть массы тяжелого адрона можно приписать массе конституентного кварка, и, таким образом,

m

_c

m

2

1,6 ГэВ

,

m

_b

m_T

2

5 ГэВ

.

Рис. 27. Распад K⁰->^+- и характерная диаграмма, дающая вклад в этот процесс.