Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

(p), n

_c

=3.

(35.3)

Последнее выражение при p/=0 тождественно обращается в нуль. Однако будет показано, что члены типа (35.3) играют важную роль при изучении масс наблюдаемых частиц (, , …). Поправки второго порядка и непертурбативной части кваркового пропагатора S_NP проще всего вычислить, записав их в виде

S

_(2)ij

^NP

=

1

p-m_q

g^2

d

^D

k i

t

_a

^ik

S

^kk'

(p+k)i

t

_b

^k'j

_ab

x

-g+kk/k²

k²

·

i

p-m_p

,

и заменив в правой части S^kk' на величину S^(0)kk_NP . При этом получаем

S

_NP

=

S

₍₀₎

^NP

+S

₍₂₎

^NP

+…,

S

_(2)ij

NP

(p)

=

-i

_ij

_g

C_Fqq_vac

3p⁴

D--

2(D-2)

D

(1-)

m_qp

p²

+

O

m_q

p⁶

+O

m

₄

^q

p

_p

 

.

(35.4)

Отметим, что этот результат зависит от используемой калибровки, поэтому выражение

M

(p)

=

-_gC_Fqq_vac

3p²

(4-)

нельзя интерпретировать как физическую массу частицы.

Рис. 28. Глюонный и кварковый пропагаторы; а — вклад, описываемый теорией возмущений; б — ведущие непертурбативные поправки; в - ведущие связанные непертурбативные поправки.

Аналогичные вычисления можно выполнить и для глюонного пропагатора (рис. 28):

D

^ab

(k)

=

d

⁴

x

e

^ik·x

TB

^a

(x)B

^b

(0)

_vac

,

TB

^a

(x)B

^b

(0)

=

_ab

C

⁰

(x)·1+C

¹

 

^c

:G

^c

(0)G

 

^c

(0):+…

,

(35.5)

и получить результат

D

=

D

_P

+D

_NP

D

₍₀₎

^NPab

(k)

=

(2)

^D

_ab

G²_vac

4(n

₂

^c

-1)D(D-1)(D+2)

x

{

(D+1)g

²

-2

}

(k).

(35.6)

Следует отметить, что непертурбативный вклад в глюонный пропагатор D⁽⁰⁾_NP оказывается поперечным. Этот член дает также вклад в поправку второго порядка S⁽²⁾_NP к кварковому пропагатору S; эта добавка к выражению (35.4) имеет вид

S

₍₂₎

^{G^2NP}

(p)

=

2C_F

3(n

₂

^c

-1)

·

_sG^2_vac

p⁴

·

i

p

.

(35.7)

Можно оценить также вклады вакуумных средних qq, G^2 в глюонный пропагатор D. Эти вклады приводят к появлению добавки к массе глюонов, которая, к сожалению, зависит от калибровки. В действительности, как будет показано в § 36, массы физических частиц не связаны с членом типа M или аналогичным членом для глюонов; такие члены дают вклады только в следующем порядке теории возмущений. Основной вклад дают выражения (35.3) и (35.6). Подробное обсуждение этого вопроса в связи с вакуумным средним qq можно найти в работе [216].

§ 36. Массы адронов

Вместо обсуждения общего метода исследования проблемы масс адронов^50а) мы рассмотрим один типичный пример, а именно вычисление массы -мезона. Рассмотрим с этой целью двухточечную функцию

^50а) Метод, которому мы следуем, был предложен в работах Шифмана, Вайнштейна и Захарова [229, 230]. Дальнейшее развитие этот метод получил в работах тех же авторов, а также в статьях [223] и цитируемой там литературе. Недавно этот метод был распространен на барионы (см. [171] и Chung J. et al., Heidelberg, preprint, 1981). Дальнейшие сведения о методе правил сумм, подобном описываемому здесь, см. в превосходном обзоре [209].

(q)

=

i

d

⁴

x

e

^iq·x

T

(x)

(0)

_vac

(-g

q

²

+q

q

)

(q

²

),

(36.1)

где - оператор с квантовыми числами, аналогичными квантовым числам -мезона; он имеет вид

(x)

=

C

s

(x)

s(x).

Константу C можно получить из анализа процесса ->e⁺e^-, но мы здесь не будем обсуждать этот вопрос. Функция (q^2) ведет себя как log q^2; следовательно, любая ее производная

d^N(q^2)

(dq^2)^N

_(N)

(q^2)

при N>=1 удовлетворяет дисперсионным соотношениям без какого-либо дополнительного вычитания. При значениях |q^2| вблизи m^2 можно аппроксимировать функцию ^(N)(q^2) единственным резонансом — -мезоном. Таким образом, можно написать приближенное выражение

_(N)

(q^2)

N!a

(m

₂

-q^2)

^N+1

.

Взяв отношение двух последовательных производных, находим

r

(q

²

)

_(N)

(q^2)

_(N+1)

(q^2)

1

N+1

(m

₂

-q^2).

(36.2)

Если вычислить производную ^(N) в рамках квантовой хромодинамики и использовать пертурбативные значения масс кварков, то получим

_(N)

(q^2)

3C

₂

12

₂

 

(N-1)!

1

(-q^2)^N

1+

m

₂

^s

q

₂

 

+O[

_s

(-q

²

)]

.

(36.3)

Но полученное выше значение m_s не удовлетворяет соотношению (36.2) при физическом значении массы -мезона. Это показывает, что существенную роль играют непертурбативные вклады. Проще всего их учесть, использовав вычисления непертурбативных частей кваркового S и глюонного D пропагаторов, выполненные в § 35. В низшем порядке теории возмущений по константе связи _s необходимо учесть лишь выражения (35.3) и (35.6) . Тогда формула (36.3) принимает следующий вид:

_(N)

(q^2)

3C

₂

12

₂

 

(N-1)!

1

(-q^2)^N

1+

m

₂

^s

q

₂

 

-

4

²

N(N+1)

q

⁴

m

_s

s

s

_vac

-

3N(N+1)

8q⁴

_s

G

²

+O(

_s

)+O(q

^-6

)

.

(36.4)