Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

До сих пор наиболее точные опенки масс тяжелых кварков получаются из правил сумм, подобных рассмотренным в § 32 и 36. Подробное изложение можно найти в работе [209] и цитируемой там литературе. Мы же обратимся к другому важному эффекту, связанному с массами кварков, - механизму Глэшоу -Илиопулоса — Майани (ГИМ) [146]. В самом деле, масса c-кварка m_c = 1,6 ГэВ была предсказана еще до экспериментального обнаружения J/-мезона в работе [146] и в статье [133], в которой было дано дальнейшее усовершенствование метода. Подробное рассмотрение различных случаев можно найти в работе [1ЗЗ] и в обзоре [132]. Здесь мы рассмотрим типичный пример, а именно распад K⁰->^+-. В низшем порядке теории возмущений по константе слабого взаимодействия и в нулевом порядке по константе _s этот распад описывается диаграммой рис. 27. Эту диаграмму мы вычислим точно. Соответствующая амплитуда процесса имеет вид⁵⁰⁾

⁵⁰⁾ Для первой скобки должны быть взяты матричные элементы по спинорам, отвечающим лептонам, а для второй - по спинорам, соответствующим кваркам.

A

=

g

₄

^W

 

^f=u,c

_f

d⁴k

(2)⁴

x

1-₅

2

k

1-₅

2

1-₅

2

(

k

-

p

'

₁

+

p

₁

+m

_f

)

1-₅

2

k

²

(k-p'

₁

)

²

-M

₂

^W

(k-p'

₁

+p

₁

)

²

-m

₂

^f

(k-p'

₂

)

²

-M

₂

^W

+

1-₅

2

k

1-₅

2

1-₅

2

k

-

p

'

₁

+

p

₁

+m

_f

1-₅

2

k

²

(k-p'

₁

)

²

-M

₂

^W

(k-p'

₁

+p

₁

)

²

-m

₂

^f

(k-p'

₂

)

²

-M

₂

^W

=

g

₄

^W

 

^f

_f

d

^D

k

x

1

k

²

(k-p'

₁

)

²

-M

₂

^W

(k-p'

₁

+p

₁

)

²

-m

₂

^f

(k-p'

₂

)

²

-M

₂

^W

x

k

1-₅

2

(

k

-

p

'

₁

+

p

₂

)

1-⁵

2

+(=>)

+

O(m

₂

f

/M

₄

^W

) .

(34.12)

Здесь использованы обозначения _u=cos _C sin _C, _c=-cos _C sin _C,где _C — угол Кабиббо. Хотя интеграл сходится, мы записали его в пространстве произвольной размерности D по причинам, которые в дальнейшем станут очевидными. Должно быть ясно, что при m_c=m_u выражение (34.12) равно нулю; следовательно, ширина распада K⁰->^+- должна быть пропорциональна разности m^2_c-m^2_u . Мы будем использовать приближение m0; тогда выражение (34.12) можно перепйсать в виде

A

=

-g

₄

^W

(cos

_C

sin

_C

)

x

d

^D

k

m

₂

^c

k

²

(k-p'

₁

)^2-M

₂

^W

(k-p'

₁

+p

₁

)^2-m

₂

^c

(k-p'

₁

+p

₂

)^2

x

(

k

(1-

₅

)/2)

(

k

-

p

₁

+

p

₂

)

(1-

₅

)/2+(=>)

(k-p'

₂

)^2-M

₂

^W

(34.13)

Этот интеграл содержит импульс k в степени 10 в знаменателе и в степени 2 в числителе; следовательно, можно работать в пределе M^1 и получить особенность не большую, чем логарифмическая. На самом деле эта особенность сокращается вкладом других диаграмм (главным образом распадами через -кванты и Z-бозоны в промежуточном состоянии). Пренебрегая членами, подавленными в m^2_K/M^2_W раз по сравнению с ведущими членами, получаем для амплитуды распада выражение

A

=

-g

4

^W

(cos

_C

sin

_C

)

m

₂

^c

M

₄

^W

·

1

4

x

d

^D

k

(

p

(1-

₅

))

(

k

(1-

₅

)+(=>))

k

⁴

(k^2-m

₂

^c

)

=

-g

₄

^W

(cos

_C

sin

_C

)

m

₂

^c

4M

₄

^W

[

(1-

₅

)]

[

(1-

₅

)

+

(1-

₅

)]

i

16^2

N

-log

m

₂

^c

₂

⁰

-1/2

.

Как объяснялось выше, множитель N

-log(m^2_c/^2₀- 1/2 при учете остальных диаграмм заменяется коэффициентом -2. (Благодаря такому сокращению этот распад фактически происходит по схеме K->2->^+-.) В окончательный результат входят только члены, не зависящие от кинематических переменных; он оказывается чувствительным к величине отношения m^2₂/M⁴_W . Мы пренебрегаем здесь сильными взаимодействяим; при более детальном анализе их следует учитывать. Заинтересованного читателя мы отсылаем к цитированной выше литературе.

§ 35. Пертурбативные эффекты и эффекты, обусловленные спонтанным нарушением киральной симметрии, в кварковом и глюонном пропагаторах

В гл. II вычислены пертурбативные (теоретиковозмущенческие) вклады в глюонный и кварковый пропагаторы. Они выражались через массы частиц, фигурирующие в лагранжиане КХД, которые обычно называют пертурбативными, механическими или (для кварков) "токовыми" массами. Однако, как известно, заметные успехи были достигнуты в так называемых конституентных (составных) моделях, в которых "конституентные" массы кварков u, d и s полагают равными ~400 МэВ, а массу глюона - равной ~800 МэВ. В этом и следующих параграфах будет показано, что непертурбативные вклады в кварковый S и глюонный D пропагаторы имитируют массы частиц. Будет показано, что, хотя эти массы нельзя отождествлять с конституентными массами, тем не менее данный эффект фактически ответствен за массы адронов, подобных -мезону.

Начнем с рассмотрения кваркового пропагатора

S

_ij

(p)=

d

^D

x

e

^ip·x

Tq

ⁱ

(x)

q

^j

(0)

_vac

,

(35.1)

который мы вычислим при больших значениях импульса p. Запишем для него операторное разложение, пренебрегая членами, которые при усреднении по вакуумным состояниям обращаются в нуль. Такое разложение имеет вид

Tq

ⁱ

(x)

q

^j

(0)

=

_ij

C

₀

(x)·1-C

₁

(x)

 

^l

:

q

^l

(0)q

^l

(x):+…

;

(35.2)

в § 7 и 9 рассмотрен только коэффициент C₀(x). В нулевом порядке теории возмущений по константе взаимодействия _g получаем приближенное равенство ( и - дираковские индексы)

:

q

(0)q

(x):

 

^x->0

1

4

-

im_qx

D

:

q

(0)q(0): .

Если через S_P и S_NP обозначить соответственно пертурбативный и непертурбативный вклады в кварковый пропагатор, то получим (рис. 28)

S

=

S

_P

+S

_NP

,

S

_(0)ij

^NP

(p)

=

-(2)

^D

_ijqq_vac

4n_c

1-

m_D

D

p