Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

⁵⁹⁾ Мы берем это пространство таким, что оно имеет конечный размер L. Иначе необходимо выполнить дополнительный предельный переход L→∞

∂F_N(ƒ₁,…,ƒ_j…)

∂ƒ_j

=

 

lim

^ε→0

F_N(ƒ₁,…,ƒ_j+ε,…) - F_N(ƒ₁,…,ƒ_j,…)

ε

,

т.е. Она может быть получена сдвигом ƒ_i→ƒ_i+εδ_ij. Поэтому мы определяем функциональную производную как предел

δF[ƒ]

δƒ(y)

=

 

lim

^ε→0

F[ƒ+εδ_y]-F[ƒ]

ε

,

где δ_y есть δ-функция, обращающаяся в бесконечность в точке y: δ_y(x)=δ(x-y). Важный частный случай представляет собой функционал, задаваемый интегралом

F[ƒ]=

∫

𝑑x K

_F

(x)ƒ(x);

тогда функциональная производная имеет вид

δF[ƒ]

δƒ(y)

=K

_F

(y).

Понятие ряда Тейлора можно обобщить и на функциональные ряды. Если ядра K_n — симметричные (или антисимметричные в случае фермионных переменных ƒ) функции своих аргументов, то легко убедиться, что для функционала

F[ƒ]=

_∞

∑

ⁿ⁼⁰

1

n!

∫

𝑑x

₁

…𝑑x

_n

K

_n

(x

₁

,…,x

_n

)ƒ(x

₁

)…ƒ(x

_n

),

n-я функциональная производная имеет вид

K

_n

(x

₁

,…,x

_n

)=

δⁿF[ƒ]

δƒ(x₁)…δƒ(x_n)

.

Процедурой, связанной с функциональной производной, является функциональное интегрирование. Функциональный интеграл определяется формулой

∫

 

∏

^x

𝑑ƒ(x) F[ƒ]≡

 

lim

^N→∞

∫

𝑑ƒ

₁

…𝑑ƒ

_N

F

_N

(ƒ

₁

,…,ƒ

_N

).

Как и в случае функционального дифференцирования, процедура функционального интегрирования подчиняется правилам, аналогичным правилам выполнения обычного интегрирования. При функциональном дифференцировании и при функциональном интегрировании, чтобы учесть антикоммутационный характер функций ƒ, требуется некоторая модификация приведенных выше соотношений. Эта модификация описана в § 39.

Функциональные производные от выражений, не содержащих интегралы, можно найти, переписав их в интегральном виде. Например, легко вычислить функциональную производную, фигурирующую в формуле (41.9), для которой результат имеет вид

δ∂B

 

^a

(x)

δB

_ρ

^b

(y)

=

δ

δB

_ρ

^b

(y)

∂

∂x^μ

 

∑

^c

∫

𝑑

⁴

z δ(z-x)δ

_ac

B

_μ

^c

(z)

=

δ

_ab

∂

∂x^ρ

δ(x-y).

Приложение И. Калибровочно-инвариантное произведение операторов

Интуитивно ясно, что в калибровочных теориях в выражениях, подобных выражениям, возникающим в методе операторного разложения:

q

(0)q(x)=

∑

x^μ₁…x^μ_n

n!

q

(0)∂

_μ1

…∂

_μn

q(0),

обычные производные следует заменить на ковариантные производные: ∂^μ→D^μ. Здесь мы кратко приводим формальное доказательство того, как возникают такие замены. В случае взаимодействующих полей их пропагаторы не являются пропагаторами свободных частиц. Например, пропагатор фермиона, помещенного в глюонное поле, удовлетворяет уравнению

(i

D

-m)S

_int

(x,y)=iδ(x-y),

которое получается непосредственно из лагранжиана. Сохраняя только наиболее сингулярные члены (члены низшего твиста), решение этого уравнения можно записать в виде

S

_int

(x,y)≈

⎧

⎨

⎩

P exp i

∫

^x

 

_y

𝑑z

_μ

∑

t

^a

B

_μ

^a

z

⎫

⎬

⎭

S(x-y),

где S - пропагатор свободного фермионного поля, а P — упорядочение вдоль траектории, соединяющей точки x и y. Если теперь выполнить операторное разложение, учитывая указанные обстоятельства, то окажется, что вместо произведения операторов q(x)q(y) возникает калибровочно-инвариантная комбинация

q

(x)

⎧

⎨

⎩

P exp i

∫

^x

 

_y

𝑑z

_μ

∑

t

^a

B

_μ

^a

(z)

⎫

⎬

⎭

q(y),

разложение которой в ряд в случае x≈Y и приводит к рассмотренным выше членам, содержащим вместо обычной ковариантную производную. Конечно, это справедливо и для операторов, построенных из глюонных полей. Дополнительные сведения о калибровочно-инвариантных произведениях операторов см. в статьях [106, 269].

Литература

Abad J., Humpert В., Phys. Lett., B77, 105 (1978).

Abarbanel H.D., Goldberger M.L., Treiman S.B., Phys. Rev. Lett., 22, 500, (1969).

Abbott L.F., Nucl. Phys., B185, 189 (1981).

Abbott L.F., Atwood W.B., Bamett R.M., Phys. Rev. D22, 582 (1980).

Abramowicz М., Stegun I.E., Eds. Handbook of Mathematical Functions. — New York: Dover, 1965 [Имеется перевод: Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами /Под ред. М.Абрамовица и И.Стиган. — М.: Наука, 1979.]

Adler S.L., Phys. Rev., 143, 1144 (1966).

Adler S.L., Phys. Rev., 177, 2426 (1969).

Adler S.L. — In: Lectures in Elementary Particle and Quantum Field Theory (Deser, Grisaru and Pendleton, eds.), MIT Press, 1971.

Adler S.L., Bardeen W.A., Phys. Rev., 182, 1517 (1969).

Ali A., Phys. Lett., 110B, 67 (1982).

Altarelli G., Phys. Reports, B1C, 1 (1982).

Altarelli G., Parisi G., Nucl. Phys., B126, 298 (1977).

Altarelli G., Ellis R.K., Martinelli G., Nucl. Phys., B143, 521 (1978); Erratum, B146 , 544 (1978).

Altarelli G., Ellis R.K., Martinelli G., Nucl. Phys., В 157, 461 (1979).

Amati D. et al., Nucl. Phys., B173, 429 (1980).

Anderson H.L. et al., Phys. Rev., D20, 2645 (1979).

Applequist Т., Carrazzone J., Phys. Rev., Dll, 2865 (1975).