Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

В настоящей книге мы рассматривали квантовую хромодинамику только при нулевой температуре, т.е. мы не требовали, чтобы большое число кварков и глюонов было заключено внутри малого объема с высокой плотностью энергии. Кроме самостоятельного интереса, который представляет изучение КХД при конечной температуре, в космологии существуют ситуации (типа очень тяжелых звезд или Большого взрыва), где такое требование может оказаться необходимым. Более того, похожие ситуации, по-видимому, могут быть получены лабораторным путем в процессах столкновений тяжелых ионов. Заинтересованного читателя мы отсылаем к обзору [159].

8. Потенциальные модели

Важным вопросом, совершенно не затронутым в книге, является рассмотрение стимулированных квантовой хромодинамикой конституентных моделей адронов, хотя своих первых успехов кварковая модель добилась именно в этом направлении. Есть две причины, побудившие меня не включать в книгу такие модели. Во-первых, хотя КХД необходима для выяснения некоторых особенностей этих моделей, тем не менее при современном уровне развития теории трудно обосновать с какой-либо степенью строгости делаемые при этом допущения. Во-вторых, недавно вышла книга [123], посвященная именно этому кругу вопросов.

9. Поправки КХД к эпектрослабым процессам

Помимо того, что можно назвать "чистой" адронной физикой, КХД позволяет оценить поправки к электрослабым процессам, обусловленные сильными взаимодействиями. В известном смысле так же можно интерпретировать поправки КХД к чисто партонной картине е⁺е^--аннигиляции или глубоконеупругому рассеянию. Но теперь мы имеем в виду поправки к процессам типа нелептонных или полулеотонных распадов тяжелых кварков, включая (частичное) объяснение правила отбора ΔI=1/2, чистого механизма ГИМ или распада протона. Заинтересованный этим кругом вопросов читетель найдет дальнейшие сведения и соответствующие ссылки на литературу в обзорах [11,132].

Приложение А. Алгебра γ-матриц в D-мерном пространстве

Матрицы γ выбираются в виде квадратных матриц размерности 4. В D-мерном пространстве мы имеем набор γ-матриц

γ

⁰

,γ

¹

,…,γ

^D-1

и матрицу γ₅^55б). Они удовлетворяют антикоммутационным соотношениям

^55б) Дополнительные сведения о матрице γ₅ можно найти в § 7 и 33.

{γ

^μ

,γ

^ν

}=2g

^μν

, γ

₂

⁵

=1,

где

g

^μν

=0, μ≠ν, g

⁰⁰

=0, g

ⁱⁱ

=-1 for i=1,…,D-1.

_μν

=g

^μν

.

S

_μναβ

=g

_μν

g

_αβ

+

g

_μβgνα

-g

_μα

g

_νβ

, A

_μ

=g

_μν

A

^ν

,

A

=γ

_μ

A

^μ

.

Имеют место следующие полезные соотношения:

Tr γ

^μ

γ

^ν

=4g

^μν

,

Tr γ

₅

γ

^μ

γ

^ν

=0,

Tr γ

^μ

_(odd)

…

 

γ

^τ

=0,

Tr γ

₅

γ

^μ

_(odd)

…

 

γ

^τ

=0,

Tr γ

^μ

γ

^ν

γ

^α

γ

^β

=4

^μναβ

=4{g

^νν

g

^αβ

+g

^μβ

g

^να

-g

^μα

g

^νβ

};

a

a

=a²;

aba

=-a²

b

+2(a⋅b)

a

,

γ

_μ

γ

^μ

=D,

γ

_μ

γ

^α

γ

^μ

=(2-D)γ

^α

;

γ

_μ

γ

^α

γ

^μ

=-Dγ

₅

;

γ

^μ

γ

^α

γ

^β

γ

_μ

=4g

^αβ

+(D-4)γ

^α

γ

^β

,

γ

^μ

γ

^α

γ

^β

γ

^δ

γ

_μ

=-2γ

^δ

γ

^β

γ

^α

+(4-D)γ

^α

γ

^β

γ

^δ

,

где S_μναβ = g_μνg_αβ + g_μβg_να - g_μαg_νβ, A_μ=g_μνA^ν, A=γ_μA^μ. Для случая четырехмерного пространства D=4 матрица γ₅ определяется в виде γ₅=iγ⁰γ¹γ²γ³. Введя полностью антисимметричный тензор ε^μνρσ так, что

ε

⁰¹²³

=-1,

⎪

⎪

ε

₀₁₂₃

=+1,

а остальные компоненты получаются циклической перестановкой индексов, можно записать следующие соотношения:

γ

^μ

γ

^α

γ

^ν

=S

^μανβ

γ

_β

-iε

^μανβ

γ

_β

γ

₅

;

γ

₅

γ

^ν

γ

^ν

+γ

₅

g

^μν

+

1

2i

ε

^μναβ

γ

_α

γ

_β

.

Tr γ

₅

γ

^μ

γ

^ν

γ

^λ

γ

^σ

=iε

^μνλσ;

g

_αβ

ε

^αμρσ

ε

^βντλ

=-g

^μν

(g

^ρτ

g

^σλ

-g

^ρλ

g

^στ

)

-g

^μλ

(g

^ρν

g

^στ

-g

^ρτ

g

^σν

)

+g

^μτ

(g

^ρν

g

^σλ

-g

^ρλ

g

^ρλ

g

^σν

);

ε

^μναβ

ε

_ρσ

^αβ

=2(g

^νρ

g

^μσ

-g

^μρ

g

^νσ

).

Кроме того, справедливо равенство {γ^ν,γ₅}=0. В представлении Паули или Вейля для γ-матриц справедливы соотношения γ₂γ_μγ₂=-γ^*_μ и γ₀γ⁺_μγ₀=γ_μ, γ₀(iγ₅)⁰=iγ₅. Наконец, если w₁ и w₂ - спиноры, а Γ₁,…,Γ_n - любые матрицы из набора γ_μ, iγ₅ , то выполняется равенство

(

w

₁

Γ

₁

…Γ

_n

w

₂

)

^*

=

w

₂

Γ

_n

…Γ

₁

w

₁

.

Приложение Б. НЕКОТОРЫЕ ПОЛЕЗНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

В пространстве размерности D справедливы формулы

∫

𝑑^Dk

(2π)^D

⋅

(k²)^r

(k²-R²)^m

=i

(-1)^r-m

(16π²)^D/4

⋅

Γ(r+D/2)Γ(m-r-D/2)

Γ(D/2)Γ(m)(R²)^m-r-D/2

;

∫

𝑑

^D

k

1

k²+i0

=0;

∫

𝑑

^D

k

δ(1-|

k

|)=

2π^D/2

Γ(D/2)

.

При интегрировании симметричных по индексам выражений следует воспользоваться равенствами

∫

𝑑

^D

k k

^μ

k

^ν

ƒ(k²)=

g^μν

D

∫

𝑑

^D

k k²ƒ(k²);

∫

𝑑

⁴

k k

^μ

k

^ν

k

^λ

k

^σ

ƒ(k²)=

g^μνg^λσ+g^μλg^νσ+g^μσg^νλ

D²+2D

∫

𝑑

^D

k k

⁴

ƒ(k²);

∫

𝑑

⁴

k k

^μ₁

…k

^μ_2n+1

ƒ(k²)≡0.

В пределе ε→0 справедливы разложения

Γ(1+ε)=1-γ

_E

ε+

_∞

∑

ⁿ⁼²

(-ε)ⁿ

n!

ζ(n), (R²)

^ε/2

=1+

ε

2

log R²+O(ε²);

здесь Γ — функции Эйлера, ζ — функция Римана, а константа Эйлера γ_E=0,5772. Формулы фейнмановской параметризации имеют вид

1

A^αB^β

=

Γ(α+β)

Γ(α)Γ(β)

∫

¹

 

₀

𝑑x

x^α-1(1-x)^β-1

{xA+(1-x)B}^α+β

,

1

A^αB^βC^γ

=

Γ(α+β+γ)

Γ(α)Γ(β)Γ(γ)

∫

¹

 

₀

𝑑x⋅

∫

¹

 

₀

𝑑y

u

_α-1

¹

u

_β-1

²

u

_γ-1

³

{u

₁

A+u

₂

B+u

₃

C}

_α+β+γ

 

,

u

₁

=xy, u

₂

=x(1-y), u

₃

=1-x.

1

A^αB^βC^γD^δ

=

Γ(α+β+γ+δ

Γ(α)Γ(β)Γ(γ)Γ(γ)

∫

¹

 

₀

𝑑x⋅²

∫

¹

 

₀

𝑑y⋅y

×

∫

¹

 

₀

𝑑z

u

_α-1

¹ u

_β-1

² u

_γ-1

³ u

_δ-1

⁴

u

₁

A+u

₂

B+u

₃

C+u

₄

D

_α+β+γ+δ

 

,

u

₁

=1-x, u

₂

=xyz, u

₃

=x(1-y), u

₄

=xy(1-z) и т.д.

В общем случае справедлива формула

1

A₁…A_n

=(n-1)!

∫

¹

 

₀

𝑑x

₁

…

∫

¹

 

₀

𝑑x

_n

δ

⎧

⎪

⎩

_n

∑

¹

x

_i

-1

⎫

⎪

⎭