Квантовая хромодинамика: Введение в теорию кварков и глюонов

^μ₁

…B

_μ

^a

t

_a

^jk

…γ

^μ_n

γ

_±

q

_k

(0)

gt

_a

^ij

Δ

^μ

Δ

_n-2

∑

^j=0

(Δ⋅p

₁

)

^j

(

Δ

⋅p

₂

)

^n-j-2

γ

_±

N=gG^μν₁∂^μ₂…B^μ_i…G

ig

3! ƒ_abc

⎧

⎨

⎩ Δ_ν

⎡

⎣ Δ_λk_μ(Δ⋅p)+p_λΔ_p(Δ⋅k) -g_μλ(Δ⋅p)(Δ⋅k)-Δ_kΔ_λ(p⋅k)

⎤

⎦ +

_n-2

∑

^j=1 (-1)^j(Δ⋅p)^j-1(Δ⋅k)^n-j-2 +

⎡

⎣ (g_μλΔ_ν-Δ_μg_νλ)(Δ⋅k) +Δ_λ(Δ_μk_ν-Δ_νk_μ)

⎤

⎦ (Δ⋅k)^n-2

⎫

⎬

⎭ + перестановки.

См. также работы [125,126].

Приложение Е. Некоторые сингулярные функции

Причинные функции Грина в координатном пространстве задаются формулами

Δ(x;m²)

=

∫

𝑑⁴k

(2π)⁴

e

^-ik⋅x

i

k²-m²+i0

,

D

_μν

^ξ

(x)

=

i

∫

𝑑⁴k

(2π)⁴

e

^-ik⋅x

-g^μν+ξk^μk^ν/(k²+i0)

k²+i0

,

S(x;m)

=

∫

𝑑⁴k

(2π)⁴

e

^-ik⋅x

k+m

k²-m²+i0

.

Иногда мы опускаем аргумент m из обозначений функций Δ и S. Эти же функции можно выразить через вакуумные средние от хронологических произведений:

⟨Tφ(x)φ(0)⟩

₀

Δ

(x;m);

⟨Tq

^j

(x)

q

k

(0)⟩

₀

=δ

^jk

S(x,m),

⟨TB

_μ

^a

(x)B

_ν

^b

(0)⟩

₀

=δ

_ab

D

_μν

^ξ

(x).

Характер функций Грина ясно представлен уравнениями (∂²_x+m²)iΔ(x-y)=δ(x-y) и т.д. Кроме того, справедливо соотношение

S(x,m)=(i∂+m)Δ(x,m)

На световом конусе справедливы разложения

Δ(x,m)²

 

≃

^x²→0

-1

4π²

⋅

1

x²-i0

+

im²θ(x²)

16π

+

m²

8π²

log

m|x²|^½

2

+…

S(x)

 

≃

^x²→0

2ix_μγ^μ

(2π)²(x²-i0)²

+…

и т.д. Дополнительные соотношения для функций Грина можно найти в книге [40]⁵⁶⁾. Формулы фурье-преобразований распределений приведены в книге [135]. В тексте использованы формулы

⁵⁶⁾Наши причинные функции отличаются от причинных функций, введенных в книге [40], множителем i: S=iS_BD, D=iD_BD и т.д.

∫

𝑑

⁴

x e

^-ik⋅x

1

x²±i0

=-4π²

i

k²i0

,

∫

𝑑

⁴

x e

^-ik⋅x

1

(x²±i0)²

=-π²i log(k²±i0)+ .

Одновременные коммутационные соотношения и коммутационные соотношения на световом конусе для фермионных операторов имеют вид

{q

_i

^α

(x),q

_k

^β

(x)}=0; δ(x

⁰

-y

⁰

){q

_i

^α

(x),

_k

^β

(y)

⁺

}=δ

_αβ

δ

_ik

δ(x-y),

{q

_α

(x),

q

_β

(0)}

 

≃

^x²→0

(

∂

-im)

_αβ

⎧

⎨

⎩

1

2π

ε(x

⁰

)δ(x

²

)

-

m

4π√x²

θ(x²)ε(x

²

)+…

⎫

⎬

⎭

.

Приложение Ж. Кинематика, сечения рассеяния и скорости распадов

Векторы состояния, описывающие частицу со спиральностью λ и импульсом p, нормированы следующим образом⁵⁷⁾:

⁵⁷⁾ При этом трансформационные свойства произвольного поля таковы: U(a)Φ(x)U^-1(a)=Φ(x+a), U(a)=e^iPa

⟨p',λ'|p,λ⟩=2p

⁰

δ

_λλ

δ(p

^⃗

-p

^⃗

'),

P

^μ

|p,λ⟩=p

^μ

|p,λ⟩.

Это соответствует плотности частиц на единицу объема

ρ(p)=

2p⁰

(2π)³

.

Амплитуда рассеяния 𝓣 связана с S-матрицей соотношением

S=1+i𝓣, ⟨ƒ|𝓣|i⟩=δ(P

_ƒ

-P

_i

)F(i→ƒ).

В случае, когда в начальном состоянии присутствуют две частицы с массами m₁ и m₁, сечение рассеяния имеет вид

𝑑σ(i→ƒ)=

2π

₂

 

λ

^½

(s,m

₂

¹

,m

₂

²

δ(P

_ƒ

-P

_i

)|F(i→ƒ)|²

𝑑

^⃗

p

 

^ƒ1

2p

₀

^ƒ1

…

𝑑

^⃗

p

 

^ƒn

2p

₀

^ƒn

где введены обозначения

λ(a,b,c)=a²+b²+c²-2ab-2ac-2bc, s=P

₂

ⁱ

.

В случае p₁+p₂→p'₁+p'₂ приведенная выше формула принимает вид

𝑑σ(i→ƒ)

𝑑t

=

π

₃

 

λ(s,m

₂

¹

,m

₂

²

)

|F(i→ƒ)|²,

𝑑σ

𝑑Ω

⎪

⎪

⎪_em

=

_π²

^4s

⋅

_q'

^q

|F(i-ƒ)|²,

σ(i-all)

=

[4π²/λ

^½

(s,m

₂

¹

,m

₂

²

)]Im F(i→i).

Здесь использованы обозначения

t=(p

₂

-p'

₂

)², q=|⃗p

_{1 em}

|=

λ

^½

(s,m

₂

¹

,m

₂

²

)

2s

_½

 

,

q'=|⃗p'

_{1 em}

|=

λ

^½

(s,m'

₂

¹

,m'

₂

²

)

2s

_½

 

,

Ω

_em

≈(θ

_em

,φ

_em

), 𝑑

Ω

=𝑑cosθ𝑑φ

Аналогично скорость распада можно выразить в виде⁵⁸⁾

⁵⁸⁾ Все формулы справедливы как дпя нетождественных, так и для тождественных частиц. Но при вычислении полных ширин полученное выражение необходимо разделить на число тождественных перестановок. Например, если мы интегрируем по импульсам j тождественных бозонов или фермионов, то полученное выражение нужно разделить на j!.

𝑑Γ(i→ƒ)=

1

4πm₁

δ(P

_i

-P

_ƒ

)|F(i→ƒ)|²

𝑑⃗p

 

^ƒ1

2p

₀

^ƒ1

…

𝑑⃗p

 

^ƒn

2p

₀

^ƒn

, P

_i

=

⎧

⎪

⎩

m_i

⃗0

⎫

⎪

⎭

.

Всюду используются единицы, в которых ℏ=c=1. Приведем некоторые полезные формулы перехода к другим системам единиц:

1 МэВ^-1=1,973⋅10^-11см=6,582⋅10^-22с.

1 ГэВ^-2=0,3894 мбарн.

1 МэВ=1,783⋅10^-27 г= 1,602⋅10^-6эрг.

1 см=5,068⋅10¹⁰МэВ^-1, 1 с — 1,519⋅10²¹ МэВ^-1.

1 мбарн = 2,568 ГэВ^-2.

1 г = 5,610⋅10²⁶МэВ, 1 эрг = 6,242⋅10⁵ МэВ.

Приложение 3. Функциональные производные

Функционал представляет собой отображение пространства достаточно гладких функций {f(x)} в пространстве комплексных чисел:

F:ƒ→F[ƒ].

Отметим, что отображение F не обязательно должно быть линейным. Таким же образом мы будем трактовать и функционалы от нескольких функций F[ƒ,g,…]. Функционалы можно рассматривать как обобщение понятия обычной функции в следующем смысле. Разобьем пространство значений⁵⁹⁾ x на N ячеек, и пусть в каждой ячейке находится единственное значение x_j. Тогда функционал F[ƒ] представляет собой предел, к которому стремится функция F_N(ƒ₁,…,ƒ_j,…), где ƒ_j≡ƒ(x_j), при стремлении размера ячейки к нулю. Производная ∂F_N/∂ƒ_j определяется формулой