Личность и Абсолют

А именно, поскольку каждая единица связана здесь с новым измерением, она есть также символ известного направления. Направление же, комбинации направлений, естественно, зависят от самих направлений. В сложении направлений дело обстоит просто. Если А, В и С—точки, лежащие не на одной прямой, то вместо того, чтобы идти от А к В ₉

а потом от В к С, я могу прямо идти от А к С и в смысле векторном АС=АВ+ВС. Иначе, однако, обстоит дело в умножении. Ведь что такое умножение? Умножение есть составление из множимого нового числа так, как множитель составлен из единицы. Ясно, что произведение тут определенно зависит от того, что считать множимым, а что множителем. Допустим, напр., что множимое положительно. Составляя из него новое число, мы, конечно, так же должны считаться с этим плюсом, как если бы и вообще помножали какое–нибудь положительное (а не отрицательное) число. Поэтому уже в умножении векторов на плоскости мы, вообще говоря, считаемся с порядком действующих тут сомножителей. То же самое и в кватернионах.

Немного позже мы сформулируем смысл некоммутативности умножения кватернионов еще более конкретно.

§ 113а. Гиперкомплексное число (интерпретация).

1. Прежде чем, однако, идти дальше, задумаемся, какой философский смысл можно было бы вкладывать в четырехмерное пространство и почему целесообразно брать комбинацию именно четырех единиц, а не больше и не меньше. В § <…) мы уже столкнулись с этим вопросом. И сейчас необходимо это понимать яснейшим образом.

а) Четырехмерное пространство является первым полным пространством с точки зрения диалектики. Считая точку за геометрический перво–принцип (поскольку она не имеет ни одного измерения и потому выше всякого оформления), мы обязаны за бытие, т. е. за первую расчлененную положенность и утвержденность, считать, очевидно, линию. Вполне естественно также в поисках инобытия линии переходить в другое измерение, т. е. в плоскость, что определенным образом погружает нас в некое становление (в отношении линии). Но ведь становление где–то останавливается и, переходя в ставшее, в дальнейшем уже перестает быть все новым и новым становлением, но вместо этого встречается с самим собою. Так и плоскость должна встретиться с плоскостью, т. е. с другой плоскостью, т. е. мы должны перейти в пространство, в третье измерение. Очевидно, полное диалектическое оформление наступает только вместе с выразительной формой, т. е. когда ставшее смысловым образом вмещает в себя и все свое инобытие, т. е. когда в нем, в его образной структуре, проявились его всевозможные инобытийные дифференции. Следовательно, на трехмерном пространстве должны быть запечатлены следы его инобытийного существования. Проще всего это инобытие там, где оно не задевает самой субстанции пространства, а лишь говорит о процессах, совершающихся внутри одной и той же, неизменяемой субстанции и структуры пространства. Так, напр., если бы мы составили вещественный кватернион, в котором первые три единицы указывали бы на три измерения пространства, а четвертая на массу или температуру или потенциальную энергию, то весь кватернион говорил бы нам о том или ином заполнении пространства, т. е. о том или ином распределении в нем массы, или температуры, или энергии; и наше означенное пространство оказалось бы выраженным, так как здесь оно вместило бы в себя свое инобытие. Но ясно, что это инобытие есть инобытие не самого пространства, т. е. не его последней субстанции, но только его смысла, его смыслового содержания, при нетронутости самого принципа пространства. Понимание кватерниона как отношения двух векторов трехмерного пространства проводил еще в 30–х годах итальянский геометр Беллавитис  [908].

Настоящая выраженность пространства, а следовательно, и первое полное его диалектическое оформление, наступает только тогда, когда оно вместит в себя свое инобытие в субстанциальном смысле, т. е. когда в нем будет выражено его инобытие, меняющее самый принцип его, самую его субстанцию. Тогда на трехмерное пространство мы должны смотреть такими же глазами, какими смотрим на двухмерное с точки зрения трехмерного и на одномерное—с точки зрения двухмерного, т. е. тогда мы должны постулировать некое четырехмерное пространство, и оно–то и будет подлинной (первой, по крайней мере полной) выразительностью пространства и, следовательно, первым полным его диалектическим оформлением.