Личность и Абсолют

Дальше мы наблюдаем судьбу нашего вещественного отрезка А В после того, как он вернулся в комплексную область, т. е. после того, как ОН'подвергся воздействию упомянутого становления. Раньше, будучи всецело вещественным, он давал нам определенное протяжение, равное а * вещественным единицам. Теперь, взявши ту или иную точку С на плоскости, мы видим, что расстояние АС совсем иное, чем АВ. АВ претерпело растяжение (или укорочение, что в данном случае безразлично), и это растяжение определяется положением выбранной нами точки на плоскости. Наш отрезок АВ повернулся на определенный угол и растянулся. Всмотримся в это растяжение.

Оно есть не только результат увеличения длины отрезка, но и результат поворота его на определенный угол. Но мы отвлечемся пока от этого поворота и будем рассматривать растяжение независимо от направления. Чтобы эта независимость от направления была не просто абстрактным допущением, но еще была и диалектически понятна, надо реально взять два противоположных направления и допустить, что это растяжение одинаково там и здесь. Если для взаимно противоположных направлений растяжение останется одним и тем же, то это и будет гарантией того, что растяжение действительно не зависит ни от какого направления вообще. Но как это сделать? Очевидно, необходимо допустить, что растяжение находится в одном и том же отношении к противоположным направлениям, что соотношение растяжения и направления в общем случае совершенно тождественно с этим же соотношением в другом случае. Другими словами, растяжение есть не что иное, как среднее геометрическое между числами, связанными с взаимно противоположными направлениями. Но числа с взаимно противоположным направлением и есть сопряженные комплексные числа. Отсюда и вытекает, что модуль (т. е. абсолютная величина) комплексного числа есть квадратный корень из произведения комплексного числа на сопряженное с ним.

Следовательно, определение модуля через сопряженные элементы есть в диалектическом смысле фиксация растяжения вещественного отрезка при данном переходе его в комплексную область, которое берется в аспекте полной независимости этого отрезка от всякого направления в комплексной области.

c) Теперь станет понятной и философская сущность тензора. Тензор кватерниона играет в четырехмерном пространстве, очевидно, ту же самую роль, что модуль комплексного числа в двухмерной области. «Тензор» значит «растягиватель». Одно растяжение мы получаем, когда переходим от линии к плоскости, т. е. отражаем плоскость на линии. Другое растяжение образуется при переходе в пространство. Но ведь мы представляем себе, что трехмерное пространство определенным образом выражено. Это значит, что мы соотносим его с четвертым измерением, хотя и не перешли в последнее в вещественном смысле, а только зафиксировали его на вещественном отрезке как мнимое. Тогда, следовательно, наше растяжение вещественного отрезка усложнится еще более, и—мы получим понятие тензора. Тензор одним махом охватывает всю деформацию, которая происходит с вещественным отрезком, когда он отображает на себе четырехмерное пространство.

d) Разумеется, соответствующее изменение получает и направление. На плоскости мы уже имеем определенный угол, на который повернулся наш отрезок. Полученное таким способом направление меняется в свою очередь при воздействии новой мнимой единицы, а эта трехмерная направленность усложняется еще дальше, когда заходит речь о третьей единице. Кватернион, таким образом, уже взятый сам по себе, гласит о тройном процессе растяжениями тройном процессе поворота данного вещественного отрезка прямой, причем поскольку он есть комбинация четырех разнонаправленных единиц, то и другое мыслится еще переносимым из одной области в другую (из одной системы координат в другую). Кватернион, таким образом, есть просто отрезок в четырехмерном пространстве, который вещественно явлен как определенная система растяжений и поворотов.

3. а) Особенно просто и рельефно это можно видеть на умножении кватернионов. Если сумма двух кватернионов не представляет собою ничего особенного, кроме обычного для комплексных чисел раздельного сложения вещественных и мнимых частей

q+q'={d+d')+i(a+a')+j(b+b')+k{c+c'),

то умножение кватернионов весьма интересно, хотя и аналогия его с векторным умножением вообще вполне очевидна. Так как векторное умножение обыкновенных комплексных чисел значительно проще, то вспомним сначала его.

ОМ и ON—два вектора, соответствующие двум разным комплексным числам. Требуется их перемножить. Так как умножить—значит повторить множимое столько раз, сколько единиц во множителе, то отложим на линии вектор , равный единице, и построим на линии ON треугольник OPN, подобный треугольнику OMQ. Тогда ОР будет как раз составлено из ОМ так, как ОМ составлено из OQ= 1. Или— ОР:ОМ=ОМ: 1, откуда

О =rr ^'

; L POQ = L PON+ L NOQ,

что при LQ = и LMOQ = ' и, ввиду подобия указанных треугольников, при LPON= LMOQ = дает

LPOQ = + ' .