Личность и Абсолют

e) Наконец, важно знать еще и то, что полная группа всех возможных подстановок данного числа знаков обладает одним специальным свойством. Именно, если под степенью группы понимать число знаков, участвующих в подстановках, то все подстановок знаков образуют т. н. симметрическую группу n–й степени. Такова, напр., тройная группа, приведенная выше в виде таблицы Кэли, или четверная, которую еще рельефнее можно выразить так:

Мы видим здесь замечательную симметрию знаков относительно обеих диагоналей таблицы. В теории групп доказывается, что симметрическая группа содержит

четных и столько [же] нечетных подстановок. Группа всех четных подстановок л знаков называется полусимметрической, или знакопеременной, группой.

4. До сих пор мы занимались, собственно говоря, только определением понятия группы, мало входя в рассмотрение ее структуры в собственном смысле. Но развитое выше понятие группы со всеми его подробностями в отношении структуры самой группы есть только перво–принцип. Поэтому развитая структура группы должна быть рассматриваема еще с весьма многочисленных точек зрения. Укажем некоторые понятия из теории групп, относящиеся к структуре группы.

a) Структура группы в ее принципе (а не перво–принципе), в ее бытии характеризуется различным комбинированием входящих в нее элементов. Введем необходимейшее понятие подгруппы. Это та группа, все элементы которой входят в другую группу; в отношении последней она и называется подгруппой. Структура группы выявляется проще всего при помощи разложения по модулю. Если подгруппа J, то имеется известное количество элементов А, Б, С, … J таких, что J=MA+MB+MC+ …+MJ. Это значит, что мы компонируем последовательность элементов, составляющих подгруппу со всеми элементами, входящими в но не входящи[ми] в М. Такое комбинирование называется разложением группы J по модулю М, а всякая система элементов А, В,… J называется полной системой вычетов по модулю М. Тут полная аналогия со структурой модуля в узком смысле (т. е. когда композицией является сложение и вычитание), о котором нам уже приходилось упоминать (п. 2а) и о котором еще будет речь в § 126.

Впрочем, если гнаться за диалектической точностью, то к «бытию», или «принципу», структуры группы относится не разложение по модулю, а самый модуль, потому что только он и есть идеальная картина разложения. Самое же разложение, т. е. реальное разложение, предполагает уже некое становление бытия (или принципа), и закон этого становления выражен именно полной системой вычетов. Таким образом, полная система вычетов есть позднейшая стадия; она не только не самое бытие, но даже и не самое становление; она—закон становления, т. е. ставшее.

На основании теоремы Лагранжа о том, что порядок любой подгруппы есть делитель порядка группы, определяют структуру низших групп. Так, нетрудно найти, что групп четвертого порядка—две. Поскольку 5 и 7—простые числа (а известно, что группа, порядок которой есть простое число, может быть только циклической), то для порядков 5 и 7 получается только один тип, циклическая группа. Для группы 6–го порядка возможны: 1) циклическая группа, образованная одним элементом 6–го порядка; 2) если же она не циклическая, то ее элементы могут быть 2–го или 3–го порядка, причем все не могут быть 2–го порядка. И т. д.

b) Несколько другой план структуры группы составляют т. н. сопряжения. Если в данной группе А, В, С являются элементами и В=С~ ¹АС, то говорят, что В сопряжено с А, а сама эта операция получения Вт А называется преобразованием элемента А посредством элемента С. Всматриваясь в это понятие сопряжения, мы замечаем, что последнее есть полная аналогия равенству или, если угодно, подобию.

Но только это равенство или подобие нужно понимать,, так сказать, «групповым» способом. Отсюда сопряжения соответствуют не просто структуре группы в ее бытии, но структуре группы в ее становлении, ибо фигура должна быть погружена в становление, чтобы превращаться в другую фигуру, подобную ей. Сопряжениями бывают не только элементы, но и комплексы. Если какую–нибудь подгруппу данной группы будем преобразовывать всеми элементами группы, то мы получим подгруппы, сопряженные с данной подгруппой. Эти подгруппы, конечно, могут частично совпадать и одна с другой, и с первоначальной подгруппой. Ничто не помешает выбрать из них различные.