Личность и Абсолют

c) Отношение А-С ^–1АС называется также автоморфизмом, а именно внутренним автоморфизмом. След., внутренний автоморфизм мы получаем, в случае когда мы из данного элемента получаем его же самого, но с преобразованием при помощи другого элемента. Прочие автоморфизмы (если они существуют для данного элемента) называются внешними. Автоморфизм—это просто взаимно однозначное соответствие группы с самой собою. Это понятие совсем не так излишне, как это могло бы показаться с первого раза. Пусть, напр., мы имеем группу отражений, или переносов, геометрической фигуры, обусловливающую собою явление симметрии. Если бы здесь фигура не переходила в себя саму, то не было бы и самой группы ее отражений, или переносов. Тут же видно и то, что понятие автоморфизма (как и понятие сопряжения) предполагает становление структуры группы, так как без собственного перехода в инобытие группа не могла бы стать и автоморфной.

Соответственно–взаимная однозначность двух разных групп называется изоморфизмом или, точнее, однозначным, одноступенным изоморфизмом. Многозначный изоморфизм или тот, который охватывает все соотношения между элементами как в одной, так и в другой группе, но не предполагает взаимной однозначности, называется гомоморфизмом. Здесь каждому элементу одной группы соответствует один элемент другой группы, но одному элементу этой другой может соответствовать несколько элементов первой группы. Теоремы, связанные с фактами изоморфизма и гомоморфизма, явно предполагают инобытие группы в виде другой группы и их определенное структурное взаимоотношение (в частности, при изоморфизме—тождество).

d) Уже эта структурность становящихся групп есть нечто ставшее. Более заметно это на тех подгруппах, которые остаются неизменными в процессе, где становление группы яснее всего, т. е. оказываются неизменными относительно всех внутренних автоморфизмов группы.

Пусть мы имеем случай, когда все решительно подгруппы, сопряженные с первоначальной, совпадают с нею. Это будет значить, что наша подгруппа коммутирует со всяким элементом группы. Вместо любого элемента группы можно будет брать эту подгруппу во всех групповых операциях. Это далеко еще не значит, что каждый элемент этой подгруппы коммутирует с каждым элементом группы. Такую подгруппу называют инвариантной или нормальным делителем группы. Другими словами, нормальный делитель и есть подгруппа, инвариантная при всех внутренних автоморфизмах. И ясно, что здесь мы получаем указание на структуру группы как на нечто ставшее, так как сопряжение нашей исходной подгруппы с элементами группы пришло здесь к определенному результату. Тут мы реально подходим к тому наличному бытию групповой структуры, с которым столкнулись выше, в п. 4а. Нетрудно сообразить, что в Абелевых группах все подгруппы инвариантны. В группе всех подстановок трех знаков имеется один нормальный делитель: 1, (1, 2, 3), (1, 3, 2). Группа всех подстановок четырех знаков имеет нормальный делитель 12–го порядка и один 4–го. В каждой группе все элементы можно распределить на ряд классов без общих элементов так, что элементы одного класса сопряжены между собою, а элементы различных классов не сопряжены. Эти классы называются классами сопряженных элементов. Существует ряд интересных и простых теорем о нормальных делителях, которых мы здесь не будем касаться.

е) Наконец, выразительной стороной групповой структуры может явиться т. н. композиционный ряд. Назовем максимальной инвариантной подгруппой группы такую, что в последней не существует другая инвариантная подгруппа, которая бы содержала первую. Максимальных инвариантных подгрупп может быть несколько и—разных порядков. Так, циклическая группа 6–го порядка имеет максимальные инвариантные подгруппы 2–го и 3–го порядков. Можно всю группу расщеплять так, что получится ряд максимальных инвариантных групп, входящих одна в другую. Это и называется композиционным рядом. Таких рядов в группе может быть несколько. По теореме Жордана—Гёльдера, два композиционных ряда одной и той же группы всегда изоморфны.

Все эти указываемые нами моменты структуры группы являются беглыми и примитивными, играющими роль скорее образцов для диалектического ее исследования. Большая подробность невозможна в нашем сочинении, а потому нам надлежит обратиться к одной области, где выразительная природа группы явлена с наибольшей силой.

§ 125. Геометрия чисел, или теория групп как учение о наивысшей арифметической выразительности.