Логико-философский трактат. Философские исследования

Тавтология предоставляет реальности всю бесконечность логического пространства; противоречие заполняет логическое пространство собой, не оставляя места реальности. Поэтому ни одно из них не способно как бы то ни было определить реальность.

4.464. Истинность тавтологии достоверна, суждения – возможна, противоречия – невозможна.

(Достоверно, возможно, невозможно – вот первое указание на шкалу, которая необходима для теории вероятности.)

4.465. Логическое произведение тавтологии и суждения говорит то же, что само суждение. Это произведение потому тождественно суждению. Ведь невозможно изменить то, что существенно для символа, не изменив смысл последнего.

4.466. Определенной логической комбинации знаков соответствует определенная логическая комбинация их значений. Лишь знакам, не включенным в комбинации, может соответствовать любая комбинация.

Иными словами, суждения, истинные для любой ситуации, не могут быть комбинациями знаков, поскольку в противном случае им соответствовали бы сугубо конкретные комбинации объектов.

(А то, что не является логической комбинацией, не имеет соотнесенности с объектами.)

Тавтология и противоречие суть предельные случаи – точнее, распад – знаковых комбинаций.

4.4661. Допустим, что знаки по-прежнему сочетаются друг с другом в тавтологии и противоречии – что они находятся в определенных отношениях друг к другу; эти отношения не имеют смысла, они несущественны для символа.

4.5. Теперь возможно вывести наиболее общую пропозициональную форму: то есть дать описание суждений любого знакового языка таким образом, что любой возможный смысл может быть выражен символом, удовлетворяющим описанию, и всякий символ, удовлетворяющий описанию, может выразить смысл при условии, что значения имен были подобраны соответственно.

Очевидно, что лишь существенное для наиболее общей пропозициональной формы может быть включено в ее описание – иначе это уже не будет наиболее общей формой.

Существование общей пропозициональной формы доказывается тем фактом, что нет суждения, формы которого нельзя было бы предугадать (то есть сконструировать). Общая форма суждения такова: что-либо имеет место.

4.51. Предположим, что мне задали все элементарные суждения; тогда я просто спрошу: какие суждения я могу составить из них? И у меня были бы все суждения, и так устанавливались бы их границы.

4.52. Суждения включают все, что следует из совокупности элементарных суждений (и, конечно, из того обстоятельства, что это совокупность их всех).

(Так, в известном смысле, можно сказать, что все суждения суть обобщения элементарных суждений.)

4.53.

Общая пропозициональная форма – переменная.

5. Суждение – функция истинности элементарных суждений. (Элементарное суждение есть собственная функцияистинности.)

5.01. Элементарные суждения выступают аргументами истинности суждений.

5.02. Аргументы функций нередко смешивают с индексами имен. Поскольку и аргументы, и индексы позволяют узнавать значения знаков, их содержащих.

Например, когда Рассел пишет: «+ _c», «c» представляет собой индекс, который указывает, что данный знак есть дополнительный знак количественного числа. Но использование этого знака является результатом произвольной договоренности, и вполне возможно выбрать простой знак вместо «+_c»; но в выражении «~p» «p» является не индексом, а аргументом: смысл выражения «~p» нельзя понять до тех пор, пока нам неизвестен смысл «p». (В имени «Юлий Цезарь» индексом будет «Юлий». Индекс всегда часть описания объекта, к имени которого мы его прибавляем; в данном случае Цезарь из рода Юлиев.)

Если я не ошибаюсь, теория Фреге относительно значения суждений и функций основана на смешении аргументов и индексов. Фреге рассматривал логические суждения как имена, а их аргументы – как индексы этих имен.

5.1. Функции истинности могут организовываться в последовательности. Вот основа теории вероятности.

5.101.

Функции истинности заданного числа элементарных суждений всегда можно отразить в схеме следующего вида:

(ИИИИ) (p, q) Тавтология (если p, то p, и если q, то q) (p ? p x q ? q)

(ЛИИИ) (p, q) Словами: Не p и не q вместе. [~ (p x q)]

(ИЛИИ) (p, q) Словами: Если q, то p. [q ? p]

(ИИЛИ) (p, q) Словами: Если p, то q. [p ? q]

(ИИИЛ) (p, q) Словами: p или q. [p ? q]

(ЛЛИИ) (p, q) Словами: Не q. [~q]

(ЛИЛИ) (p, q) Словами: Не p. [~p]

(ЛИИЛ) (p, q) Словами: p или q, но не вместе. [p x ~q: ?: q x ~p]

(ИЛЛИ) (p, q) Словами: Если p, то q, и если q, то p. [p ? q]

(ИЛИЛ) (p, q) Словами: p.

(ИИЛЛ) (p, q) Словами: q.

(ЛЛЛИ) (p, q) Словами: Ни p, ни q. [~p x ~q или p | q]

(ЛЛИЛ) (p, q) Словами: p, но не q. [p x ~q]

(ЛИЛЛ) (p, q) Словами: q, но не p. [q x ~p]

(ИЛЛЛ) (p, q) Словами: q и p. [q x p]

(ЛЛЛЛ) (p, q) Противоречие (p и не p, и q и не q).[p x ~p. q x ~q]

Я назову основаниями истинности суждения те возможности истинности его истинностных аргументов, которые делают суждение истинным.