Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Именно так и определяется число e: как величина, к которой приближается (1 + 1/n)ⁿ с возрастанием значения n. Математики называют ее пределом (1 + 1/n)ⁿ при n, стремящейся к бесконечности. Записывается это следующим образом:

Если заменить дробь 1/n на x/n, оговорившись, что x есть действительная величина, то с возрастанием n/x число (1 + x/n)^n/x будет все больше приближаться к e. Возведя обе части этого уравнения в степень x (и вспомнив, что (a^b)^c = a^bc), мы приходим к экспоненциальной формуле:

где х – любое комплексное число. Вы удивитесь, но от этой формулы есть вполне себе практическая польза. Предположим, что вы открыли в банке накопительный счет под 6 % годовых (то есть ставка составит 0,06) и положили на него $10 000. Если процент начисляется раз в год, то через 365 дней у вас будет $10 000(1,06) = $10 600. Именно от этой суммы банк будет исчислять 6 % в следующем году: $10 000(1,06)² = $11 236. Через три года уравнение преобразуется в $10 000(1,06)³ = $11 910,16. Через t же лет – в

$10 000(1,06)^t

Чтобы отследить общую закономерность, заменим ставку 0,06 ставкой r, а начальную сумму $10 000 суммой $P. Тогда через

t лет вы смогли бы получить

$P(1 +r)^t

Теперь предположим, что проценты начисляются дважды в год: по 3 % каждые 6 месяцев. Через год на вашем счете будет лежать $10 000(1,03)² = $10 609 – немного больше, чем в прошлом случае.

С ежеквартальными (раз в три месяца) начислениями вы заработаете 4 раза по 1,5 %, то есть $10 000(1,015)⁴ = $10 613,63.

Давайте обобщим и это: при начислении процента n раз в год через 365 дней сумма ваших накоплений составит

При очень больших значениях n мы будем иметь дело с непрерывными начислениями процента. Согласно второму замечательному пределу, за год получится

Сведем все это в таблицу:

Иными словами, начав с $P, с непрерывными начислениями по ставке r через t лет вы получите $A. Все это выражается очень симпатичной во всех отношениях формулой

A=Pe^rt

Как хорошо видно на графике, функция y = e^x растет очень быстро. По соседству с ней мы изобразим графики e^2x и e^0,06x

. Правда, похожи? Подобный рост называется ростом по экспоненте. Если же взять график y = e^–x, то он очень быстро приближается к 0, то есть демонстрирует спад по экспоненте.

А что насчет графика 5x? Так как e < 5 < e², он должен лежать между e^x и e^2x. Если точнее, то e^1,609… = 5, следовательно, 5^x ≈ e^1,609x. В целом же любую функцию a^x можно представить в виде e^kx, где k есть экспонента, соответствующая a = e^k. А для того, чтобы найти k, нам понадобятся логарифмы.

Точно так же, как квадратный корень является обратным представлением квадратичной функции (то есть находится с ней во «взаимоотменяющих» отношениях), логарифм является обратным представлением показательной (экспоненциальной) функции. Наиболее часто используемый логарифм – десятичный (то есть по основанию 10), обозначаемый как lg x. Считается, что

y= lgxесли 10^y=

x

из чего следует

10^lgx=x

Например, так как 10² = 100, lg 100 будет равен 2. Вот очень полезная таблица логарифмов:

Одной из причин популярности логарифмов является их уникальная способность преобразовывать огромные значения в малые, куда более удобоваримые для человеческого ума. Логарифмы, в частности, используются при измерении и подсчете магнитуды землетрясения по шкале от 1 до 10 (да-да, это я о знаменитой шкале Рихтера), громкости звука (в децибелах), кислотности химических растворов (pH) и даже рейтинга посещаемости интернет-страниц (в алгоритме PageRank, придуманном корпорацией Google).

Что собой представляет lg 512? Любой профессиональный калькулятор (равно как и большинство поисковых систем в Интернете) скажет вам, что log 512 = 2,709…. Вполне похоже на правду: 512 находится между 10² и 10³, а значит, его логарифм должен быть больше 2, но меньше 3.

Логарифмы были изобретены для того, чтобы преобразовывать умножение в более простое сложение. Основано это на одной любопытной теореме.

Теорема: Для любых положительных значений x и y

logxy =logx +logy

Другими словами, логарифм произведения равен сумме логарифмов.

Доказательство: Согласно правилам действий со степенями,

10^lgx+ lgy= 10^lgx10^lgy

=xy= 10^lgxy

Следовательно, возведение 10 в степень lg x + lg y дает xy, что и требовалось доказать.◻

Не менее полезно следующее правило.

Теорема: Для любого положительного значения x и любого целого значения n

logxⁿ=nlogx

Доказательство: Согласно правилам действий со степенями, a^bc = (a^b)^c. Следовательно,

10ⁿlgx= (10^lgx)ⁿ=xⁿ

то есть логарифм xⁿ равен n lg x.◻