Читаем Магия математики. Как найти x и зачем это нужно полностью

Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Десятичный логарифм – штука вполне себе обычная, насколько вообще обычным может быть нечто столь активно использующееся в таких важных областях науки, как химия, физика или геология (справедливости ради все же следует упомянуть, что в информатике и дискретной математике предпочтение отдается логарифму с основанием 2). В целом же для любого значения b > 0 логарифм по основанию b log_b определяется согласно следующему правилу

y= log_b xеслиb^y=x

Так, log₂ 32 = 5, потому что 2⁵ = 32. А все уже рассмотренные нами свойства логарифмов соответствуют любому значению b. Так, например,

b^logb x=x

log_b xy= log_b x+ log_b y

log
_b xⁿ=nlog_b x

В большинстве разделов математики, физики и техники самым полезным считается логарифм по основанию b = e. Он называется натуральным и даже имеет свое специальное обозначение – ln x. То есть

y= lnxеслиe^y=x

Или же, для всех действительных значений x,

lne^x=x

Ваш калькулятор, например, может за долю секунды подсчитать, что ln 5 = 1,609…, однако это нам уже хорошо известно по тому, что e^1,609 ≈ 5. Подробнее же о функциях натурального логарифма мы поговорим в главе 11.

Отступление

Большинство профессиональных калькуляторов способно считать как натуральные, так и десятичные логарифмы. И лишь очень немногие ориентированы на другие значения b. Впрочем, проблемы тут никакой нет: одно основание довольно легко преобразовать в другое. Да-да, один логарифм является ключом ко всем остальным! На этот счет даже есть своя теорема, благодаря которой мы можем, например, взять логарифм по основанию 10 и найти его аналог по основанию b

Теорема: Для любых положительных значений b и x

Доказательство: Предположим, что y = log_b x. Тогда b^y = x. Прологарифмируем обе части: log b^y = log x. Согласно второму замечательному пределу, y log b = log x. Следовательно, y = (log x)/(log b), что и требовалось доказать.◻

lnx =(logx) / (loge
) = (logx) / (0,434…) ≈ 2,30 logx

logb x = (log x) / (log 2) = (log x) / (0,301…) ≈ 3,32 log x

Другие лики е

Как и число π, число e широко используется в математике. И, как и π, оно встречается подчас там, где вы совершенно не ожидаете его увидеть. Например, колоколообразная кривая, которую мы уже упоминали в главе 8, имеет формулу

а ее график, изображенный чуть ниже, – наверное, самый важный график в любом статистическом исследовании.

В той же главе 8 мы встречали e в формуле Стирлинга для множества n!:

Позже, в главе 11, на примере e^x и бесконечной последовательности

мы увидим важную связь между числом e и факториальным многочленом.

В частности, при x = 1,

Не правда ли, очень легкий и быстрый способ определить цифры, составляющие число e?

Кстати, о цифрах… Вы наверняка уже заметили, что число e начинается с повторяющейся последовательности цифр

e= 2,718281828…

или, как любил повторять один мой преподаватель, «2,7 Эндрю Джексон, Эндрю Джексон», потому что седьмой президент США был избран именно в 1828 году. («Запоминалка» эта, кстати, отлично подходит и студентам-историкам: с помощью первых цифр числа e можно запомнить год избрания Джексона.)[33] Как тут не усомниться в иррациональной природе e? Ведь если бы последовательность 1828 повторялась бесконечно, e было бы обычным рациональным числом. Но нет, дальше идут 6 цифр… 459045… (лично я запомнил их как значения углов равнобедренного прямоугольного треугольника).

Вмешивается e и в вопросы вероятности. Предположим, что раз в неделю вы покупаете лотерейный билет с шансом выиграть приз 1 к 100. Какова вероятность того, что за 100 недель вы что-нибудь да выиграете? Каждую неделю ваш «коэффициент удачи» равен 1/100 = 0,01, а «коэффициент невезения» – 99/100 = 0,99. Так как количество билетов неограниченно (то есть удача на этой неделе никак не зависит от невезения на прошлой), за весь срок получаем