Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

Число e было открыто и введено в оборот великим математиком Леонардом Эйлером. И именно Эйлер впервые обозначил его буквой e. Но, как полагает большинство специалистов по истории математики, вовсе не потому, что это была первая буква его фамилии[34]. Тем не менее e до сих пор достаточно часто называют «числом Эйлера».

Нам уже встречались бесконечные последовательности для функций e^x, cos x и sin x. Откуда они берутся, мы узнаем в следующей главе. Сейчас же просто соберем их в одном месте:

Считалось, что эти формулы работают при любых действительных значениях x. Эйлеру же хватило дерзости предположить, что они будут истинны и при мнимых значениях х. Задавшись вопросом, что произойдет, если возвести число в степень мнимого числа, он сформулировал свою известную теорему.

Теорема Эйлера: Для любого значения угла θ (выраженного в радианах)

e^iθ= cos θ +isin θ

Доказательство: Посмотрим, что будет происходить с последовательностью для e^x при x = iθ:

Обратите внимание на поведение i при возведении его в последовательные степени: i

⁰ = 1, i¹ = i, i² = –1, i³ = –i (последнее потому, что i³ = i²i = –i). Затем закономерность повторяется: i⁴ = 1, i⁵ = i, i⁶ = –1, i⁷ = –i, i⁸ = 1 и т. д. Еще более пристальное внимание следует обратить на то, что среди полученных результатов последовательно чередуются действительные и мнимые величины, что дает нам возможность выносить число i за скобки при каждом втором шаге:

Это приводит нас к доказательству «уравнения Бога», с которого мы начинали эту главу. Приняв θ = π рад (или 180°), мы получим

eⁱπ = cos π +isin π = –1 +i(0) = –1

Но это далеко не все, о чем говорит нам теорема Эйлера. Мы уже встречались с cos θ + i sin θ – это есть точка на единичной окружности, лежащей на комплексной плоскости. Вместе с «положительной» половиной оси x она образует угол θ. Так вот, с помощью теоремы Эйлера эту точку можно представить очень простым способом – таким, какой показан на графике

Но и это еще не все! Любая точка комплексной плоскости имеет на окружности свое соответствие. А именно комплексная величина z с модулем R и углом θ представляет собой некую в R раз увеличенную точку, лежащую на окружности. Другими словами,

z = Re^iθ

Следовательно, если у нас на комплексной плоскости есть две точки z₁ = R1e^iθ₁ и z₂ = R₂e^iθ₂, то, согласно правилам действий со степенями (в версии, касающейся комплексных величин)

z₁

z₂ =R₁e^iθ₁R₂e^iθ₂ =R₁R₂e^i(θ₁ + θ₂)

что является комплексным числом с модулем R₁R₂ и углом θ₁ + θ₂. И снова мы приходим к выводу, что произведение комплексных величин – это, по сути, произведение их модулей и сумма их углов. Только согласитесь: теорема Эйлера и число e приводят нас к этому умозаключению куда безболезненнее и быстрее, чем наше предыдущее – длиной в целую страницу – алгебраическо-тригонометрическое доказательство.

Давайте же восславим число e уже ставшим привычным для нас способом (и да простит нас Джойс Килмер[35]):

Не сыщешь веку вопрекиЧисла чудеснее, чем e.

Ты не забудешь никогдаДва-семь-один и восемь-два…Его чудесный строгий видВ сердцах у нас всегда горит.Оно задачи облегчитИ интегралы разрешит.Докажет ерунду любой,Но только Эйлер – наш герой.

Глава номер одиннадцать

Магия исчисления

Касательно касательных

Математика – это язык, на котором говорит наука. Стоит ли удивляться, что большинство законов природы описываются с помощью математического алфавита? Исчисление – один из способов познать суть вещей, то, как они изменяются, развиваются, движутся. Эту главу мы посвятим измерению скорости, с которой изменяются функции, и изучению теории приближений – примерной оценки (аппроксимации) сложных и простых полиномиальных функций (многочленов). А еще исчисление – мощное средство оптимизации. Это наиболее эффективный способ подобрать такие величины и порядок работы с ними, которые дадут оптимальный результат. (Например, если мы планируем доходы или надеемся выжать максимум при минимуме затраченных усилий, результат должен быть наибольшим, а если хотим сэкономить или ищем кратчайший путь из точки А в точку Б, – наименьшим.)

Предположим, что у вас есть лист картона размером 12 на 12 см (см. рисунок). Наша задача – сделать из него лоток, для чего нам нужно от каждого из четырех углов отрезать по квадратику размером x на x сантиметров. Чему должен быть равен x, чтобы у нас получился максимально вместительный лоток?

Представим объем как функцию x. Площадь основания лотка равна (12 – 2x)(12 – 2x), а высота его стенок – x. Значит, объем можно посчитать как

V= (12 – 2x)²xx