Магия математики. Как найти x и зачем это нужно

u(x)u(x) = √x√x=x

Продифференцировав обе стороны и применив правило дифференцирования произведения, получаем

u(x)u'(x) +u'(x)u(x

) = 1

Следовательно, как мы и предполагали.

Отступление

Правило дифференцирования произведения при отрицательных значениях степени гласит, что y = x⁻ⁿ будет иметь производную Чтобы это доказать, возьмем u(x) = x⁻ⁿ, где n ≥ 1. Согласно определению, при x ≠ 0

u(x)xn=x^–nxⁿ=x0 = 1

Продифференцировав обе стороны и применив правило дифференцирования произведения, получаем

u(x)(nxⁿ⁻

¹) +u'(x)xⁿ= 0

Разделив всех члены уравнения на xⁿ и перенеся первый член в другую часть уравнения, получаем

что и требовалось доказать.◻

Следовательно, если y = 1/x = x^–1, то y' = −1/x², если y = 1/x² = x^–2, то y' = −2x^–3 = −2/x³, и т. д.

Помните, в 7 главе мы искали такое положительное значение x, при котором функция

y=x+ 1/x

показала бы минимальное значение? Тогда мы нашли решение с помощью геометрии, показав, что результат может быть достигнут при x = 1. Но можно решить эту задачу значительно проще: это значит, что y' = 0, это дает нам 1 – 1/x² = 0, а единственная положительная величина, которая удовлетворяет этому условию, – x = 1.

Что касается тригонометрических функций, то их дифференцировать ничуть не сложнее. Обратите внимание, что для доказательства следующей теоремы нам нужно, чтобы углы были выражены в радианах.

Теорема: Если y = sin x, то y' = cos x, а если y = cos x, то y' = –sin x. Другими словами, производная синуса равна косинусу, а производная косинуса – синусу со знаком минус.

Отступление

Доказательство: Для доказательства нам потребуется следующая лемма (лемма – это подсобная, подготовительная теорема, с помощью которой можно доказать более сложное и серьезное утверждение).

Лемма:

Здесь утверждается, что значение любого угла h, равного чуть больше, чем 0 (в радианах), будет близко к значению h, в то время как значение косинуса будет близко к 1. С помощью калькулятора, например, можно выяснить, что sin 0,0123 = 0,0122996…, а cos 0,0123 = 0,9999243…. С помощью этой леммы можно продифференцировать любой синус или косинус. Тождество sin (A + B) из главы 9 говорит нам, что

А так как h → 0, то, согласно нашей лемме, это уравнение превращается в (sin x)(0) + (cos x)(1) = cos x. Подобным же образом

И снова h

→ 0 дает нам (cos x)(0) – (sin x)(1) = –sin x, что и требовалось доказать.◻

Отступление

То, что можно доказать с помощью такого вот графика:

На единичной окружности, часть которой изображена выше, R = (1, 0), а P = (cos h, sin h), где h есть небольшой угол с положительным значением. В прямоугольном треугольнике OQR

Рассмотрим сектор OPR, имеющий клинообразную форму. Площадь единичной окружности равна π1² = π, сектор OPS – ее часть, выражаемая дробью h/(2π). Следовательно, площадь сектора OPR составляет π(h/2π) = h/2.

Так как сектор OPR содержит в себе треугольник OPS, а тот, в свою очередь, – треугольник OQR, сравнение их площадей дает нам

Для положительных значений a, b и c, если a < b < c, то 1/c < 1/b < 1/a. Следовательно,