Математический аппарат инженера

Однако такой способ в большинстве случаев не является рациональным, так как обычно представляют интерес только некоторые из функций q_ij между внешними узлами (полюсами) схемы. Поэтому имеет смысл предварительно исключить внутренние узлы и таким образом уменьшить порядок матрицы Р,прежде чем возводить ее в требуемую степень. При исключении s-гo узла в матрице непосредственных связей вычерчиваются s-я строка и s-й столбец и каждый ее элемент p_ij заменяется элементом p_ij ∨ p_isp_sj . Член p_isp_sj учитывает путь между узлами iи j через узел s, который действует параллельно с непосредственной связью p_ij. В результате исключения узла матрица Р преобразуется к матрице P_s на единицу

- 529 -

меньшего порядка, которая представляет собой матрицу непосредственных связей относительно неисключенной совокупности узлов.

Пусть, например, в схеме рис. 201 требуется определить булевы функции между узлами 1, 2 и 3. Матрицы Р и Р₄ имеют вид:

,

Определив P²₄ после преобразований, получим матрицу полных связей относительно узлов 1, 2 и 3,называемую матрицей выходов:

Элементы этой матрицы являются функциями выходов:

f₁₂ = x₁ ∨ (x₂ ∨ x̅₃) (x̅₂ ∨ x̅₁x₂);

f₁₃ = x̅₂ ∨ x̅₁x

₃ ∨ x₁(x₂ ∨ x̅₃);

f₂₃ = x₁x̅₂ ∨ x₂ ∨ x₃.

8. Введение узлов (синтез). При синтезе контактных схем задаются функции для внешних узлов (полюсов), которые определяют матрицу выходов. Необходимое и достаточное условие непротиворечивости этих функций состоит в том, что матрица выходов должна быть устойчивой, т. е. удовлетворять равенству F = F².

Рис. 201. Контактная схема к примеру.

Структуру контактной схемы, реализующей заданную непротиворечивую совокупность функций, можно получить из матрицы F путем ее последовательного расширения, соответствующего операции введения узла. Эта операция обратна исключению узла и приводит к матрице F_s, порядок которой на единицу выше, а элементы таковы, что при исключении узла s снова получим матрицу F. Последовательным применением операции введения узла исходная матрица расширяется и преобразуется к виду, при котором элементы представляют собой константы 0 или 1, переменные, их отрицания или элементарные конъюнкции переменных. Тогда полученную матрицу можно рассматривать как матрицу непосредственных связей, на основе которой легко построить соответствующую контактную схему. При этом элементарные конъюнкции реализуются последовательными соединениями соответствующих контактов.

Операция введения неоднозначна, поэтому можно получать различные схемы, удовлетворяющие заданным функциям. Выбор наилучшего пути преобразования матрицы F к матрице непосредственных

- 530 -

связей Р, определяющей вид контактной схемы, в значительной степени зависит от искусства инженера.

Пусть требуется построить контактную схему со следующими функциями:

f₁₂ = x̅₁x̅₂ ∨ x₁x₃; f₁₃ = x̅₃(x₂ ∨ x₁x₄

); f₂₃ = 0

Матрица выходов имеет вид:

Элементы этой матрицы можно рассматривать как результат исключения узла 4, который мы должны ввести, т. е.

f₁₂ = x̅₁x̅₂ ∨ x₁x₃ = f'₁₂ ∨ f'₁₄ f'₄₂;

f₁₃ = x̅₃(x₂ ∨ x₁x₄) = f'₁₃ ∨ f'₁₄ f'₄₃;

f₂₃ = 0 = f'₂₃ ∨ f'₂₄ f'₄₃

Полагая f'₁₄ = x₂ ∨ x₁ x₄; f'₄₃ = x̅

₃ (возможны и другие варианты), имеем f'₁₃ = f'₂₄ = f'₄₂ = f'₂₃ = 0; f₁₂ = x̅₁x̅₂ ∨ x₁x₃. Таким образом, в результате введения узла 4 имеем матрицу

Продолжая аналогично, можно записать соотношения для элементов матрицы F_(4,5), соответствующей введению узла 5:

x̅₁x̅₂ ∨ x₁x₃ = f"₁₂ ∨ f"₁₅ f"₅₂; 0 = f"₁₃ ∨ f"₁₅ f"₅₃; x₂ ∨ x₁x₄ = f"₁₄ ∨ f"₁₅ f"₅₄;

0 = f"₂₃ ∨ f"₂₅ f"₅₃

; 0 = f"₂₄ ∨ f"₂₅ f"₅₄; x̅₃ = f"₃₁ ∨ f"₃₅ f"₅₁;

Если принять f"₁₅ = x₁, то необходимо положить

f₁₂ = x̅₁x̅₂; f"₅₂ = x₃; f"₁₃ = f"₅₃ = 0; f"₁₄ = x₂; f"₅₄ = x₄; f"₂₃ = f"₂₅ = f"₂₄ = 0

В результате приходим к матрице, которую можно рассматривать как матрицу непосредственных связей Р синтезируемой схемы:

Схема, соответствущая этой матрице, показана на рис. 202.

9 .Вентильные схемы. До сих пор предполагалось, что контакты обладают двусторонней проводимостью, т. е. в открытом состоянии они пропускают сигналы как в прямом, так и в обратном направлениях. Таковы, например, контакты электромагнитных реле. Однако при использовании электронных ключей, например управляемых диодов, проводимость в прямом направлении настолько превышает проводимость в обратном направлении, что практически можно считать контакты односторонними, т. е. пропускающими сигналы

- 531 -

только в прямом направлении. Схемы с односторонними контактами называют вентильными схемами.