Математический аппарат инженера

На вентильных схемах, как и ранее, изображаются только соединения контактов, а управляющие цепи обычно опускаются. При этом предполагается, что управление осуществляется как сигналами, соответствующим переменными x₁, x₂, ..., x_n, так и их отрицаниям x̅₁, x̅₂, ..., x̅_n, что отмечается на схеме одним из символов x_i или x̅_i для каждого контакта. Кроме того, в вентильных схемах обычно имеет место естественное разделение сигналов: если к узлу схемы одновременно поступают несколько сигналов, то результирующий сигнал в этом узле действует как их дизъюнкция. Направления прохождений сигналов обозначаются на схемах стрелками, относящимися к соответствующим контактам. Пример вентильной схемы показан на рис. 203.

Рис. 202. Схема, построенная по матрице непосредственных связей.

Рис. 203. – Вентильная схема

Булевы матрицы вентильных схем в общем случае несимметричны. Так, для приведенной схемы имеем:

,

Матрицу Q можно также записать непосредственно из вентильной схемы, учитывая для ее элементов q_ij все пути от i-го узла к j-му узлу по направлению стрелок. Так,

q₁₂ = x₁ ∨ x₂; q₁₃ = x̅

₁ ∨ (x₁ ∨ x₂)x₃ = x̅₁ ∨ x₁x₃ ∨ x₂x₃ = x̅₁ ∨ x₃ ∨ x₂x₃ = x̅₁ ∨ x₃ и т. д.

Булева функция для любого выхода может быть определена также последовательным исключением узлов, кроме входного и выходного.

Синтез вентильных схем осуществляется аналогично изложенному выше, причем в исходной матрице выходов все функции, кроме заданных, обычно полагаются тождественно равными нулю. Пусть,

- 532 -

например, f₁₂ = x₁x₂ ∨ x̅₁

x̅₃ и f₁₃ = x₁x̅₃ ∨ x̅₁x₂. Матрица выходов и ее расширения имеют вид:

, ,

Схемы, соответствующие F₍₄₎ и F_(4,5) показаны на рис. 204. Как видно, вторая схема (рис. 204 б) содержит на один контакт меньше, чем первая (рис. 204 а).

а

б

рис. 204. Схемы, реализующие функции f₁₂ = x₁x₂ ∨ x̅₁x̅₃ и f₁₃ = x₁x̅₃ ∨ x̅

₁x₂.

а - с четырьмя узлами; б - с пятью узлами.

4. Логические схемы

1. Логические элементы. Контактные схемы исторически были первыми техническими средствами реализации булевых функций и первыми объектами применения алгебры логики для решения технических задач. Впоследствии появилось много различных устройств, реализующих элементарные булевы функции одной или нескольких переменных. Они основаны на использовании электронных и магнитных цепей, параметронов, стройной техники (пневмоники) и т.д.

Устройства, реализующие элементарные булевы функции, называют логическими элементами. Их входы соответствуют булевым переменным, а выход — реализуемой функции.

В технике для обозначения логических элементов используют различные графические символы и названия, которые учитывают свойства и специфические особенности конкретных элементов. В теории принимаются упрощенные изображении в виде прямоугольников или других фигур, внутри которых помещаются условные названия или символы соответствующей функции (табл. 7). Обычно рассматривают элементы с одним (для отрицания) и двумя входами (для функций двух переменных).

.................

4. Упрощение формул. Между формулой, выражающей булеву функцию, и функциональной схемой, реализующей эту функцию, имеется функциональное соответствие. Однако, поскольку одна и та же функция может быть выражена различными формулами, ее реализация неоднозначна. Всегда можно построить много различных логических схем, соответствующих данной логической функции. Такие схемы называют эквивалентными.

Из множества эквивалентных схем можно выделить наиболее экономичную или хотя бы достаточно простую схему путем упрощения формулы, соответствующей данной функции. Обычно принято считать более простыми те формулы, которые содержат меньшее количество вхождений переменных и символов логических операций.

Задача упрощения аналитических выражений решается в конкретном базисе с помощью тождественных преобразований. Чаще всего эту задачу связывают с базисом, состоящим из отрицания, дизъюнкции и конъюнкции, который будем называть булевым базисом. После того как формула выражена через основные операции, она упрощается на основании тождеств булевой алгебры, приведенных в (2. 1).

Например, функция из (3) упрощается следующим образом:

y = (x₁ / x₂) + (x̅₃ → x₁) =

= ¬(x₁x₂) + (x₃

∨ x₁) =

= x₁x₂(x₃ ∨ x₁) ∨ ¬(x₁x₂)x₃ ∨ x̅₁ =

= x₁x₂ ∨ ¬(x₁x₂)(x₃ ∨ x₁) =

= x₁x₂ ∨ ¬(x₁ ∨ x₃).

5. Минимальные формы. Как было показано в (2. 3), любая булева функция представима в совершенной нормальной форме (дизъюнктивной или конъюнктивной). Более того, такое представление является первым шагом перехода от табличного задания функции к ее аналитическому выражению. В дальнейшем будем исходить из дизъюнктивной формы, а соответствующие результаты для конъюнктивной формы получаются на основе принципа двойственности (2. 1).