Математика для гуманитариев: живые лекции

Кроме того, огромную работу проделал верстальщик Евгений Ива­нов. Отдельные несуразности выловил мой ученик Саша Новиков, кото­рый прочел рукопись на одной из последних стадий готовности, а также мой друг и коллега, ведущий специалист по комбинаторной геометрии в нашей стране Андрей Михайлович Райгородский. Наконец, целиком от начала и до конца одну из финальных версий книги прочла Дарья Орешенкова, секретарь Университета Дмитрия Пожарского, и «вылови­ла» несколько дополнительных спорных мест.

Всем, кто мне помогал в процессе работы над книгой на разных ста­диях, я хочу здесь выразить свою глубочайшую признательность и бла­годарность — ваши поддержка и помощь были бесценны, книга без вас бы не вышла никогда!

Наконец, самое большое спасибо хочу сказать моей жене Марине за крайне внимательное неоднократное вычитывание всей книги, а также за моральную поддержку в течение всего этого времени!

В итоге, несмотря на окончательное наше решение оставить в каче­стве автора одного меня, фактически книга является совместной работой многих людей! Разумеется, все оставшиеся ошибки и недочеты при этом я целиком и полностью беру на себя.

Надеюсь, что всем, кто эту книгу прочтет и проработает, математика уже никогда не будет казаться чем-то скучным, нудным или отвлечен­ным! Приятного вам чтения, друзья!

В процессе работы над курсом лекций, легших в основу этой книги, автор получал поддержку от Русского фонда содействия образованию и науке, а также от Министерства образования и науки Российской Фе­дерации в рамках гранта Правительства РФ Ш 14.U04.31.002 от 26 июня 2013 года «Изучение разнообразия и социальных взаимодействий с фо­кусом на экономике и обществе России» (администрируемого Российской Экономической Школой).

Раздел I

«Математику уже затем учить надо, что она ум в порядок приводит».

М. В. Ломоносов

Лекция 1

Алексей Савватеев: Здравствуйте!

Аудитория: Здравствуйте!

А.С.: Для начала я расскажу кое-что о себе.

В 1990 году я закончил 57-ю школу г. Москвы. Может быть, кто- то из вас ее знает. Тогда это была математическая школа. Но в 1989 году по инициативе нашей учительницы литературы Зои Алексан­дровны Блюминой было принято решение набрать гуманитарный класс, чтобы уравновесить огромный перекос учащихся в мужскую сторону в нашей школе. Я был в 11-м классе, а набрали 9-й.

Зачем я об этом говорю? У меня в гуманитарном классе была подруга, которой я объяснял математику. Однажды надо было ре­шить уравнение типа sin ж = ^ Я объяснял, объяснял, объяснял,

_ai,o_I„_H,_ICpC_,_raiCKpOTIJ₁,„

_Kp™,»o_ypMira„„_8i,^I

Она говорит: «Стой... Там же был sina;».

Я начинаю объяснять: «Это закрытый терм, замкнутая пере­менная, она уничтожится». Ничего не понимает, в глазах ужас. Я продолжаю: «Мы должны решить уравнение относительно у, да?»

— Нужно же было относительно х решать, ну зачем ты «у» написал?

У меня случился затык, не могу объяснить и всё. И тогда я по­нял, что из меня получается очень плохой учитель. Я привык го­ворить со школьниками, которые приходили на маткружок. А они не задавали таких вопросов.

Спустя годы я закончил мехмат МГУ и Российскую Экономи­ческую Школу (РЭШ), после чего ездил по регионам России, вел курсы повышения квалификации для преподавателей экономики. В Москве считалось, что экономика — наука совершенно матема­тизированная и точная. По крайней мере, и в РЭШ, и в Высшей Школе Экономики до сих пор всячески насаждается, что мате­матика — это главное в экономике. В регионах мы столкнулись, однако, с преподавателями, которым было трудно перешагнуть че­рез вещи, для математиков очевидные. Но через пять дней курса многие слушатели оказывались очень способными к математике. Просто в некотором месте у них стоял заслон. Его полезно пре­одолеть всем, ибо это — часть интеллектуальной культуры. Да­же если вы никогда не занимались математикой, некоторые вещи знать надо... Так же как я должен знать что-то про историю или химию.

Давайте теперь поговорим о словосочетании «абсолютное дока­зательство». Если вы в общем и целом поймете, что это такое, то значит, мы не зря сегодня позанимались с вами.

Что такое абсолютное доказательство, я объясню на примерах. Начнем с игры в «пятнадцать».

Слушатель: Пятнашки?

Слушатель: Шестнашки?

А.С.: Чтобы мы говорили об одном и том же, я объясню пра­вила этой игры.

В квадрате 4x4 имеется пятнадцать одинаковых квадратных фишек, пронумерованных от 1 до 15. Их нельзя вынимать, мож­но только передвигать на свободное место. Стандартная исходная позиция: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 и пустое ме­сто, которое используется для передвижения фишек. (См. рис. 1; может быть задана и нестандартная исходная позиция.)

Пустое место можно гнать по всей игровой зоне, т. е. разрешен­ное действие при игре — передвижение на пустое место одной из соседних с ним фишек.