Математика для гуманитариев: живые лекции

а + i = (т + га) = т + 3т ni — Зтп — п i =

= (т³ — 3 тп¹) + *(3m²n — п³).

Комплексные числа равны, значит равны их вещественная и мни­мая части:

а = т³ — 3 mn², 1 = 3 т²п — п³.

Я вернулся из гауссовых чисел в обычные целые числа. С помо­щью гауссовых чисел я сделал вывод, который никогда в жизни не сделал бы без них. Из а² = Ь³ — 1 я получил, что

т²п — п³ = 1.

Теперь уже всё просто:

т²п — п³ = 1, n(3m

² — п²) = 1,

п и 3т² — п² — целые числа. Два числа дают в произведении 1 тогда и только тогда, когда они одновременно равны 1 или — 1.

п = ±1, 3 т² — п² = ±1.

Вы заметили, «единицу можно разложить на множители един­ственным способом: либо 1 умножить на 1, либо — 1 умножить на

1». Второй способ неотличим от первого, так как второе реше­ние можно сократить на «обратимое число» (—1). Так что второй случай кажется ненужным для рассмотрения — вроде как получа­ется избыточная аргументация. Но, как будет видно ниже, второй случай отнюдь не лишний.

Мой учитель Саша Шень рассказывал замечательную историю про то, как он стал математиком «из-за избыточной аргумента­ции». Ему подали рыбу, филе (я сам очень долго, лет до 30, ду­мал, что филе — это название рыбы). Так вот. Ему подали филе, и он сказал: «Мама, ну тут кости! Ты можешь вынуть кости?» А мама применила следующий замечательный логический прием, поставив его на дорогу математика. Она сказала: «Так! Саша, во- первых, это филе, и костей в нём быть не может. А во-вторых, где ты видел рыбу без костей?» Саша настолько был потрясен такой «железобетонной» логикой, что после этого стал математиком.

Итак, разберем наши два случая. Хотя они одинаковы с точки зрения единственности разложения на множители, но они не оди­наковы с точки зрения наличия решений!

Первый случай: п = 1, 3т² — п² = 1, следовательно, 3т

² = 2. Но т — целое число. Значит, такого быть не может.

Второй случай: п = — 1, 3т² — п² = — 1, следовательно, 3т² = 0. Получаем т = 0.

а + г = (т + га)³ = (0 — *)³ = (^*)³ = г.

Так как а + i = г, то а = 0. Но Ь³ = а² + 1, значит, 6=1.

Это — единственное решение исходного уравнения. Получает­ся, что кроме тривиальных решений, других решений уравнения а²

= Ь³ — 1 нет.

Из этой теории можно сделать следующий практический вывод. Если у вас с ребенком вышла такая ситуация, что он сложил из кубиков большой куб, вы украли у него кубик, и он сложит ква­драт, значит, что-то не так. Значит, он кубик «украл обратно» (и их было 729 скорее всего!). Вы можете сказать: «Так, ты похитил у меня кубик!»

Как, папа? Как ты это увидел? Ты, наверное, ясновидя­щий. ..

Нет. Я просто умею решать диофантовы уравнения, сынок.

*Этот переход является психологически сложным. Подумайте над ним са­мостоятельно: квадрат — это такое число, в разложении которого на простые множители все простые числа входят в четных степенях.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]http://pub.ist.ac.at/

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]неверное (по­пробуйте понять, почему!).

[20]

[21]

[22]http: //egamath .narod.ru/N quant /Collatz. htm.

[23]

[24]KR и KS имеют такой вид, мож­но с помощью подстановки в уравнения координат точек К, R и К, S соответ­ственно. Как известно, прямая однозначно определяется по любым двум своим различным точкам.

[25]

[26]любое движение сферы является либо поворотом, либо отражением.

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]Здесь Остапа понесло. Но в целом, если мы заменим детский сад на млад­шую школу, то все алгебраические понятия и в самом деле можно ввести на примере систем остатков от деления на некоторое фиксированное целое число!