Математика и искусство

Итак, ряд золотого сечения (15.4), (15.5) и тесно связанный с ним ряд Фибоначчи (15.6) обладают массой исключительных математических свойств, которые каким-то поразительным образом сошлись в этих феноменах. Но золотое сечение и числа Фибоначчи имеют не менее удивительные приложения не только в искусстве (с чем мы немного познакомились в гл. 4 и гл. 12), но и в живой природе. К настоящему времени накоплено множество фактов, показывающих, что ряд Фибоначчи проявляется в формах живой природы как закон единообразного роста. Ряд Фибоначчи обнаружен и в расположении семян подсолнечника или сосновой шишки, и в распределении листьев и хвои на деревьях, и в расположении стеблей. Возьмите линейку и измерьте длину трех фаланг среднего пальца и пясти. Поделив эти числа на длину первой фаланги, вы с поразительной точностью обнаружите 4 члена ряда золотого сечения (15.4):

Но самым удивительным, пожалуй, является то, что точка, питающая новую жизнь,- пуп человека — делит тело человека в золотом сечении.

Что стоит за этими и многими другими фактами — игра чисел или некоторый универсальный закон природы? Хочется верить, во второе, ибо жизнь — это не хаос случайностей, а претворение генетически определенных законов. Видимо, действием закона золотого сечения в природе и объясняются интригующие проявления этого закона в искусстве. По крайней мере, автор стоит на "природнической" точке зрения на прекрасное и в законах искусства видит отражение законов красоты природы (хотя и те и другие законы пока еще не познаны).

Почему же закон золотого сечения так часто проявляется в архитектуре? Этому есть, на наш взгляд, вполне рациональное, математическое объяснение. Мы знаем, что для достижения гармонии в произведении искусства (в том числе и в архитектурном произведении) должен выполняться принцип Гераклита: "из всего — единое, из единого — все". В самом деле, гармония в архитектурном произведении зависит не столько от размеров самого сооружения, сколько от соотношений между размерами составляющих его частей. Для того чтобы выполнялся основной принцип гармонии "все во всем", взаимосвязь частей и целого в архитектурном произведении должна иметь единое математическое выражение, т. е. архитектурное "целое" а и его части а₁, а₂, а₃, а₄, ... должны находиться в одинаковых отношениях

Отсюда a = a₁p, а₁ =а₂р, а₂ = а₃p, ..., или a₁ = qa, a₂ = q²a, a₃ = g³a, ... (q = l/p), т. е. "целое" а и его части a₁, а₂, а₃, ... должны образовывать геометрическую прогрессию

(15.13)

Но части архитектурного целого должны "сходиться" в целое, т. е., разделив "целое" а на части а₁ и а₂, необходимо, чтобы

Учитывая (15.13), условие (15.14) примет вид

т. е. единственное положительное значение для q равно коэффициенту золотого сечения φ.

Итак, из всех геометрических прогрессий (15.13) только ряд золотого сечения обладает аддитивным свойством (15.14), поэтому только при делении "целого" a на части а₁ и а₂ в золотой пропорции выполняется принцип "все во всем" и одновременно части "сходятся" в целое.

Пропорции храма Василия Блаженного в Москве определяются восемью членами ряда золотого сечения: 1, φ, φ², φ³, φ⁴, φ⁵, φ⁶, φ⁷

При этом соотношения (15.13) и (15.14) принимают вид (12.4)

Это и есть знакомый нам ряд золотого сечения.

Подробным анализом пропорций некоторых архитектурных шедевров разных эпох, стилей и разных народов мы займемся в следующих двух главах. Но сейчас нам хочется закончить разговор о золотом сечении одним примером, показывающим, насколько органично входит оно в архитектурные пропорции. В качестве примера рассмотрим пропорциональный строй одной из жемчужин древнерусской архитектуры — храма Василия Блаженного в Москве. За "целое" а = 1 принята высота храма. Пропорции храма определяются восемью членами ряда золотого сечения:

Многие из членов ряда неоднократно повторяются в пропорциях этого затейливого архитектурного сооружения, но всегда благодаря аддитивному свойству золотого сечения мы уверены в том, что части сойдутся в целое, т. е.

Таким образом, аддитивное свойство золотого сечения делает эту геометрическую пропорцию единственной и неповторимой.

16. Пропорции: от Парфенона до Нотр-Дама

...Вся наша Франция заключена в наших соборах, как и вся Греция сжата в одном Парфеноне.

О. Роден

"Человек — мера всех вещей..." Этот знаменитый афоризм древнегреческого философа-софиста Протагора (ок. 490 — ок. 420 до н. э.) является ключом к разгадке тайны пропорций Парфенона, его поразительной гармонии и спокойствия. Как это ни парадоксально, но между живыми линиями человеческого тела и застывшими на тысячелетия каменными очертаниями древнего сооружения существует глубокая связь, выраженная в математических законах пропорциональности. Но по порядку...