Математика и искусство

В самом деле, возьмем квадрат со стороной 1, построим двойной квадрат (т. е. прямоугольник со сторонами 1 и 2), проведем в нем диагональ и опишем ею полуокружность (см. рис. ). Так мы построим новый двойной квадрат с малой стороной √5. Продлив стороны исходного двойного квадрата до пересечения со сторонами нового, мы получим целую гамму пропорций, содержащую практически все коэффициенты пропорциональности от до 1 с шагом 0,1:

и т. д. Заметим: двойной квадрат тесно связан с золотым сечением. Так, в результате наших построений мы получили два прямоугольника золотого сечения, выделенные синим цветом: и .

Ну а какое отношение математика двойного квадрата имеет к архитектуре? Широкое распространение в архитектуре пропорции двойного квадрата, как и пропорции золотого сечения, получили благодаря свойству, которое по аналогии с золотым сечением можно назвать аддитивным свойством площадей. Дело в том, что каждое архитектурное произведение или его часть можно вписать в прямоугольник. Так вот, прямоугольники системы двойного квадрата могут без остатка разлагаться на другие прямоугольники этой же системы. Это и есть аддитивное свойство площадей системы двух квадратов, аналогичное линейному аддитивному свойству золотого сечения. Например, прямоугольник золотого сечения (+1) одной линией можно разделить на два прямоугольника, стороны которых будут относиться как 1:2 и 2:, а прямоугольник со сторонами 2 и легко разложить на "золотой" прямоугольник (-1):2 и двойной квадрат 1:2. Прямоугольник 1:2 четырьмя линиями разбивается на шесть прямоугольников: два неравных прямоугольника 1:2, два равных прямоугольника 2: √5 и два неравных "золотых" прямоугольника (√5 — 1): 2. И т. д. Таким образом, система двух квадратов дает поразительное разнообразие разбиений целого на части, находящиеся в тех же пропорциональных отношениях. Так, благодаря аддитивному свойству площадей системы двух квадратов достигается взаимосвязь целого и его частей, осуществляется основной принцип гармонии: "из всего — единое, из единого — все".

Заметим, что получаемые в системе Двух квадратов прямоугольники с отношением сторон :2≈1,118 близки к квадратам, а само отношение √5:2 представляет так называемую функцию золотого сечения, введенную архитектором Жолтовским. В терминах ряда золотого сечения (15.5) функция золотого сечения определяется как отношение

Поскольку , то мы легко получаем

Прямоугольник с отношением сторон :2 Жолтовский называл "живым квадратом", считая, что он должен заменить в архитектуре математический квадрат, который не встречается в природе и не радует глаз своей пропорцией (1:1). Будучи большим энтузиастом золотого сечения и его функции, Жолтовский нашел многочисленные примеры этих пропорций в архитектурных шедеврах, в том числе и в Парфеноне (см. с. 202). Итак, среди многих пропорций, обладающих аддитивным свойством площадей, двойной квадрат содержит и такие "выдающиеся" пропорции, как золотое сечение и функцию золотого сечения.

Теория парных мер родилась в 60-е годы. Однако, кроме мерных палок Хесиры, эта теория реальных подтверждений не имела и, по существу, оставалась гипотезой, построенной на математических рассуждениях. Правда, пропорциональные циркули (см. с. 199) также представляют собой парные меры. Но это меры, с помощью которых строился чертеж архитектурного сооружения, а не само сооружение. И вот в 1970 г. теория парных мер получила еще одно блестящее доказательство. При археологических раскопках в Новгороде экспедицией члена-корреспондента АН СССР А. В. Арциховского был найден обломок мерной трости конца XII века. Мерная трость представляет собой брусок прямоугольного сечения, на трех гранях которого нанесены три различные шкалы. 24 деления каждой из шкал дают разные сажени: тмутараканскую (С_т= 142,1 см), мерную (С_м = 175,6 см) и косую новгородскую (К_н = 200,9 см). Но ведь это не что иное, как парные меры системы двух квадратов! В самом деле, С_т : С_м = 1:( — 1) = 0,809, С_т:К_н = 1:√2 = 0,707. (Подробнее о древнерусских парных мерах и системах пропорционирования мы поговорим в следующей главе.) Так мерная трость[26], а вместе с ней и парные меры из математических абстракций перешли в область реального. Так в нетрадиционной области — теории архитектуры — еще раз проявилось удивительное свойство математики совершать открытия "на кончике пера". Так геометрия двойного квадрата связала воедино мерные палки Хесиры, античные пропорциональные циркули и новгородскую мерную трость.