Математика и искусство

С выходом в свет трактата Понселе проективная геометрия стала самостоятельной наукой. Заслуга Понселе заключалась в выделении проективных свойств фигур (Понселе понимал их как свойства, которые остаются неизменными при любом центральном проектировании фигуры с одной плоскости на другую) в отдельный класс и установлении соответствий между метрическими и проективными свойствами этих фигур. Помимо точек и прямых проективными свойствами oбладают, например, линии второго порядка (окружности, эллипсы, параболы и гиперболы). Понселе были сформулированы также принцип непрерывности и принцип двойственности. Первый принцип позволил рассмотреть всякого рода исключения и особые случаи с более широкой точки зрения (например, параллельность прямых как пересечение их в бесконечно удаленной точке) и дать геометрический аналог мнимым числам в геометрии. С помощью второго принципа стало возможным в два раза увеличивать число теорем проективной геометрии, не прилагая при этом никаких усилий.

Истинное значение проективных свойств геометрии было осознано лишь в конце XIХ века, когда немецкий математик Феликс Клейн (1849-1925) доказал, что обычная геометрия Евклида, и "необычная" геометрия Лобачевского могут быть ассмотрены в рамках проективной геометрии. Так было установлено кардинальное значение проективной геометрии по всей геометрии.

"Милостивые государи! Между приобретениями, сделанными в области геометрии за последние пятьдесят лет, развитие проективной геометрии занимает свое место". Этими словами в старинном немецком городке Эрлангене в 1872 г. Клейн начал свою знаменитую лекцию, вошедшую в историю математики как Эрлангенская программа". В этой лекции, изменившей взгляд на геометрию в целом, Клейн дал новое определение древней науки: геометрия есть учение об инвариантах той или иной группы преобразований. Выбирая по-разному группу преобразований, можно получать разные геометрии. Заметим, что проективная геометрия лежит в основе теории аэрофотосъемки и находит сегодня важнейшее приложение при обработке снимков из космоса.

Рассмотрим основные идеи проективной геометрии. Как отмечалось в конце предыдущей главы, Понселе возродил идею проективной плоскости Дезарга, т. е. плоскости, дополненной бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой. На проективной плоскости стираются различия между параллельными и пересекающимися прямыми, свойство прямых пересекаться становится инвариантным относительно операции проектирования, а поведение точек и прямых определяется двумя аксиомами (см. с. 285). Поскольку метрические свойства геометрических фигур (расстояния и углы) при проектировании не сохраняются (см. с. 275), а проективная геометрия изучает свойства фигур, инвариантные относительно операции проектирования, то метрические свойства в проективной геометрии не рассматриваются. Именно поэтому проективную геометрию называют "геометрией положения" или "геометрией линейки без делений".

Разумеется, проективная геометрия развилась не вдруг с появлением трактата Понселе. Известны три важнейшие предтечи проективной геометрии — три теоремы элементарной геометрии, которые не содержат в условиях метрических характеристик. Первая теорема известна с глубокой древности и носит имя александрийского геометра III века Паппа.

Теорема Паппа. Пусть l и m — две прямые на плоскости; А, В, С — различные точки прямой l, а А', В', С' — различные точки прямой m. Тогда точки пересечения трех пар накрест лежащих прямых АВ' и А'В, ВС' и В'С, С А' и С'А принадлежат одной прямой. Проективный характер теоремы Паппа очевиден: в ней фигурируют только точки, прямые и их пересечения; поэтому теорема Паппа остается справедлива при любом проективном преобразовании.

Через 1200 лет после Паппа шестнадцатилетний юноша Блез Паскаль (1623-1662) опубликовал свое лучшее математическое сочинение "Трактат о конических сечениях". В трактате Паскаль доказал теорему, которую он назвал Hexagramma mysticum (Волшебный шестиугольник) и которую он украсил почти 400 следствиями. Теорему Паскаля можно считать своего рода обобщением теоремы Паппа на случай конических сечений^*, которые, как и прямые, обладают проективными свойствами.