Математика и искусство

Как происходило дальнейшее развитие теории перспективы? Уже наше короткое знакомство с перспективой убеждает в том, что по перспективному изображению весьма трудно судить об истинных размерах предмета. Желая преодолеть эту трудность, математик и архитектор из Лиона Жерар Дезарг (1593-1662) в работе "Общий метод изображения предметов в перспективе" предложил использовать при построении перспективы метод координат. Изображение предмета предлагалось выполнять совместно с системой координат, относительно которой он ориентирован в пространстве. Метод Дезарга положил начало новому самостоятельному методу изображения, впоследствии названному аксонометрическим.

Дезарг обратил внимание и на другую особенность, возникающую при построении перспективы. Как мы видели, при центральном проектировании прямые, параллельные в горизонтальной плоскости Т, могут переходить в пересекающиеся прямые в картинной плоскости К (см. на с. 281). При этом точка схода параллельных прямых в картинной плоскости (точка О на рисунке) не имеет своего прообраза в плоскости Т. Желая избавиться от тацой особенности, Дезарг предложил дополнить обычную евклидову плоскость (плоскость с конечными точками) бесконечно удаленными точками, названными несобственными точками. Сколько бесконечно удаленных точек следовало ввести на плоскости Т? Очевидно, сколько есть направлений для параллельных прямых, так как естественно считать, что все параллельные друг другу прямые пересекаются в одной бесконечно удаленной точке. Ясно, что таких точек бесконечно много. Совокупность бесконечно удаленных точек на плоскости Т образует бесконечно удаленную прямую, которая на картинной плоскости К переходит в линию горизонта. Плоскость, дополненная бесконечно удаленными точками и бесконечно удаленной прямой, получила название расширенной, или проективной плоскости.

Далее Дезарг предложил стереть различия между собственными и несобственными элементами расширенной плоскости. Это значительно упрощало и обобщало многие рассуждения. В самом деле, в таком случае на расширенной плоскости исчезало само понятие параллельности прямых, так как параллельные прямые можно было считать пересекающимися в бесконечно удаленной точке. Но тогда автоматически устранялась и та особенность центрального проектирования, с которой все и началось: на расширенной плоскости пересекающиеся прямые (в том числе и пересекающиеся в несобственной точке, т. е. параллельные) проектировались в пересекающиеся. Таким образом, на расширенной плоскости центральные проекции дополнялись еще одним инвариантом (см. с. 275) — свойством прямых пересекаться.

Дюрер. Устройство для изображения предметов в перспективе. Гравюра. Ок. 1520

Поведение точек и прямых на расширенной плоскости управлялось лишь двумя аксиомами:

1) две различные точки на расширенной плоскости определяют прямую, и притом только одну, которой они принадлежат;

2) две различные прямые на расширенной плоскости определяют точку, и притом только одну, через которую они проходят.

Нет параллельных прямых! Нет знаменитого пятого постулата Евклида, который 2000 лет не давал покоя математикам! Геометрия расширенной плоскости — это геометрия точек, прямых и пересечений. Любая теорема о конфигурации этих элементов на расширенной плоскости оставалась справедливой и для любой центральной проекции этой конфигурации. Отсюда и пошло название новой геометрии — проективная геометрия.

Так, в недрах искусства живописи родилась новая наука — проективная геометрия — еще одно свидетельство тесных уз между наукой и искусством.

Новые идеи оказались чрезвычайно плодотворными и позволили Дезаргу получить ряд первоклассных результатов, в том числе и знаменитую теорему, носящую его имя. Однако идеи Дезарга опередили его время. Его сочинения отпугивали современников сжатостью изложения и многочисленностью новых обозначений. О Дезарге и его методе просто забыли...

Пути науки неисповедимы. Судьбе угодно было распорядиться так, чтобы ровно через 150 лет после смерти Дезарга его идеи возродил его же соотечественник. Однако произошло это не в родной Франции, а в далекой России, в глухом провинциальном городе Саратове...

21. В плену, в Саратове: рождение проективной геометрии

В деревню, к тетке, в глушь, в Саратов!

Там будешь горе горевать...

А. Грибоедов