Математика и искусство

Таким образом, музыкальная гамма разделена на пропорциональные части; она буквально пронизана пропорциями, а пропорциональность, как мы знаем, является одним из объективных критериев красоты. Однако на этом математика музыкальной гаммы не кончается, а, скорее, только начинается.

Прежде всего из (8.1) видно, что расстояния между соседними ступенями пифагорова строя неодинаковы. Поэтому, во-первых, от ноты до можно было играть только в лидийском ладу, а чтобы сыграть от этой ноты, скажем, в дорийском ладу, необходимо было перестраивать почти все струны лиры. Во-вторых, от ноты ре получался уже не лидийский, а фригийский лад и, вообще, от каждой новой ноты начинался новый лад (не случайно в таблице 1 на с. 107 имеется семь ладов — по одному на каждую из семи нот октавы). Поэтому, чтобы сыграть мелодию в лидийском ладу от другой ноты (чего, безусловно, требовали ограниченные возможности человеческого голоса: один поет выше, другой — ниже), лиру также следовало перестраивать. (Конечно, если всю жизнь играть в одном ладу и одной тональности, то семи нот в октаве будет вполне достаточно. До сих пор прекрасно обходятся семью звуками некоторые гармошки и другие народные инструменты.)

Итак, для того, чтобы иметь возможность переходить из лада в лад и из тональности в тональность, строй должен быть равномерным, т. е. иметь одинаковые высотные расстояния (интервальные коэффициенты) между звуками. Казалось бы, что проще: нужно разделить каждый тон-интервал пополам на два полутона, т. е. получить еще пять дополнительных звуков, и шкала пифагорова строя станет равномерной. Но вот тут-то и таилась основная трудность.

Дело в том, что половина тона в точности не равна полутону (256/243≈1,0545) (см. с. 105). Поэтому если в качестве единого масштаба строя взять полутон т е заменить на него имеющиеся в (8.1) два полутона 256/243, то эти 12 новых полутонов приведут нас не точно в октаву (2), а чуточку выше: Интервал между октавой, полученной шагами по 12-равномерным полутонам и чистой октавой равен (9/8)⁶:2 ≈ 1,0136 и называется пифагоровой коммой^*.

Представляя пифагорову комму в виде

мы получим еще один важный результат: 12 квинт с точностью до пифагоровой коммы равны 7 октавам.

Но т. е. новый полутон содержал иррациональное число , которого пифагорейцы боялись как огня. Взять столь "некрасивое" число в качестве единицы измерения музыкальной гаммы было немыслимым для пифагорейцев: это противоречило всей философии целочисленных отношений. Поэтому пифагорейцы пошли другим путем: в качестве основы музыкальной гаммы они взяли квинту, "красивое" число 3/2.

^*(Коммой (от греч. komma — отрезок) в музыкальной акустике называется интервал, не превышающий 1/9 целого тона. Пифагорова комма приблизительно равна 1/9 тона.)

Рассмотрим ряд, составленный из степеней числа 3/2:

Оказывается, с помощью этого красивого симметричного ряда можно получить все интервальные коэффициенты пифагорова строя. Начнем с середины ряда и все получаемые звуки будем сводить в одну октаву, умножая или деля их интервальные коэффициенты на нужные степени числа 2 (интервальный коэффициент октавы). Новые звуки будем обозначать либо ближайшим снизу основным звуком с добавлением слова "диез" при движении по квинтам вверх, либо ближайшим сверху основным звуком с добавлением слова "бемоль" при движении по квинтам вниз. Это означает соответственно повышение или понижение основного звука. Итак,

(8.2)

Как видим, двигаясь по квинтам вверх и вниз от основного тона, мы получили все ступени пифагорова строя (8.1), каждая из которых в свою очередь может быть повышена, понижена, дважды повышена или понижена и т. д. Процесс этот, к сожалению, бесконечен. Точного октавного повторения основного тона (до) мы так и не получим. (Легко видеть, что си-диез и ре-бемоль-бемоль совпадают с основным тоном (до) опять же с точностью до пифагоровой коммы.) Следовательно, и точно разделить октаву на целое число частей этим методом мы не сможем.

Таким образом, желая разделить пять тонов в (8.1) на полутона, мы получили, по крайней мере, 10 промежуточных звуков. Новый пифагоров строй примет вид (интервальные коэффициенты новых звуков для краткости опущены)

Какие из этих дополнительных звуков взять: с бемолями или диезами? Для музыкантов, играющих на инструментах с нефиксированной высотой звуков (скрипачей, например), эта проблема не стоит. Они берут и те и другие. В результате звучание скрипки становится более выразительным и контрастным, так как в ладе обостряются тяготения неустойчивых звуков к устойчивым. Этим во многом объясняется то "волшебное пение" скрипки, которое доступно только ей одной^*.