Математика и искусство

Заканчивая наше необычное "музыкальное обозрение", перенесемся в 20-е гг. XX века, когда вновь неожиданно зазвучало "пифагорово пенье светил". Согласно теории Нильса Бора, развитой им в 1913 г., движение электрона вокруг атомного ядра возможно только по избранным "разрешенным" орбитам, двигаясь по которым электрон вопреки законам классической электродинамики не излучает энергии, но может скачком переходить с одной орбиты с энергией E_i на другую "дозволенную" орбиту с энергией Е_k, испуская (i>k) или поглощая (i

(7.2)

h — постоянная Планка.

В простейшем случае атома водорода, содержащего один электрон, энергия n-го энергетического уровня равна

(7.3)

R — постоянная Ридберга.

Здесь n = 1, 2, 3,... называется главным квантовым числом. Тогда совокупность частот, излучаемых атомом водорода при переходе с верхнего энергетического уровня на нижний (i>k), определяет спектр испускания данного атома и каждому такому переходу соответствует своя спектральная линия. Для атома водорода согласно формулам 7.2, 7.3 получаем совокупность спектральных линий с частотами

При переходе со второго, третьего и т. д. энергетических уровней n_i = 2, 3, 4... на первый n_k = 1 получается так называемая "спектральная серия Лаймана", для которой α₂₁=3/4, α₃₁=8/9, α₄₁ = 15/16. Но ведь это кварта (3/4), тон (8/9) и полутон в чистом строе (15/16)! "Таким образом,- писал А. Эйнштейн,- мы открыли некоторое подобие между колебанием струны и атомом, испускающим излучение".

"То, что нам сегодня удается понять на языке спектров,- это истинная музыка атомных сфер, созвучие целочисленных отношений, все возрастающие порядок и гармония при всем их многообразии — так восторженно отзывался о квантовой теории немецкий физик и математик Арнольд Зоммерфельд (1868-1951).- ... Она представляет собой тот полный таинства инструмент, на котором природа исполняет спектральную музыку и ритмом которого она управляет строением атома и атомных ядер".

Итак, обыкновенная музыкальная гамма увлекла нас вслед за Пифагором, Платоном и Кеплером в путешествие по просторам космоса. Мы узнали, что "пифагорово пенье" услышали и физики XX века, но уже не в космосе, а в противоположной стихии — микромире. Но нам пора от "физических приложений" вновь вернуться к математическому содержанию музыкальной гаммы, которая таит в себе еще немало секретов.

8. Математический строй музыки

Настоящая наука и настоящая музыка требуют однородного мыслительного процесса.

А. Эйнштейн

В главе 6 мы получили пифагоров строй, т. е. математическое выражение интервальных коэффициентов, лидийской гаммы (6.14), или, в современной терминологии, пифагоров строй натурального мажора:

(8.1)

Здесь цифры внизу обозначают интервальные коэффициенты соседних ступеней гаммы; напомним, что 9/8 есть тон, а 256/243 — полутон. Мы обнаружили также, что основные консонансные интервалы в пределах октавы — квинта и кварта — являются соответственно средним арифметическим и средним гармоническим частот основного тона и октавы. Кроме того, октава, квинта, кварта и тон образуют геометрическую пропорцию:

октава/квинта = кварта/тон.