Математика и искусство

Однако идеи Дидима, как это не раз случалось с учеными Древней Греции, опередили историю почти на полторы тысячи лет. Они не нашли подходящей почвы для Развития, увяли, умерли и были воскрешены только в конце XV века...

Орган Домского собора в Риге. '... У него одного существуют те потрясающие звуки, те громы, тот величественный, говорящий будто из вечности голос, которого выражение невозможно никакому другому инструменту, никакому оркестру',- писал об органе В. Стасов

...В XIV веке в Европе получает широкое распространение орган, ставший официальным инструментом католической церкви. С развитием органа развивается и многоголосие, которого не знала ни Древняя Греция, ни раннее средневековье. В течение столетий орган настраивался в пифагоровом строе. Никакого другого строя средневековье не знало. Но пифагоровы терции звучали на органе особенно жестко и не давали покоя музыкантам.

В XVI веке выдающийся итальянский композитор и музыкальный теоретик Джозеффо Царлино (1517-1590) воскресил идеи Дидима. Так родился новый квинтово-терцовый строй, названный чистым строем. Новое всегда с трудом пробивает себе дорогу. Учение Царлино подверглось резким нападкам. Любопытно, что среди тех, кто не признавал учения Царлино и вел с ним непримиримую борьбу, был Винченцо Галилей — выдающийся итальянский лютнист и отец великого революционера в науке Галилео Галилея. Почему чистая терция (5/4), ставшая наравне с квинтой полноправной хозяйкой нового строя, звучит приятнее пифагоровой, мы объясним в главе 10. Пока же отметим одну поразительную закономерность: интервальный коэффициент чистой терции (ее называют также большой терцией) есть среднее арифметическое интервальных коэффициентов основного тона (1) и квинты (3/2):

(8.3)

А дополнение большой терции (5/4) до квинты (3/2) — малая терция (3/2:5/4 = 6/5) — является средним гармоническим основного тона и квинты:

(8.4)

Оба этих интервала дают приятное звучание; таким образом, закон целочисленных отношений Пифагора расширяется, а внутри музыкальной гаммы появляются еще две пропорции!

Предполагают, что еще Архит умел выражать большую и малую терции как среднее арифметическое и гармоническое тона и квинты. Однако письменное свидетельство этому мы находим лишь в объемном труде "Универсальная гармония" Марена Мерсенна (1588-1648) — монаха францисканского ордена, французского математика, теоретика музыки и философа, учившегося в иезуитском колледже Ла Флеш вместе с Рене Декартом. Труд Мерсенна — нескончаемое исследование об интервалах, полное всеобъемлющих умозрений. На десяти страницах огромного формата автор глубокомысленно обсуждает, например, "является ли унисон консонансом", и попутно решает вопрос, "как бы человек мог поднять землю", и т. д. Однако, несмотря на чрезвычайную напыщенность, которая, впрочем, была неотъемлемой чертой всех сочинений того времени, работа Мерсенна содержала интересные идеи и прозрения. В частности это касалось консонантности и пропорций большой и малой терций. Сегодня большую и малую терции относят к группе несовершенных консонансов.

Но вернемся к работам Царлино. Выдающейся заслугой Царлино было не только выявление консонантности большой терции (5/4), но и построение "совершенной гармонии" — объединение большой терции и квинты в гармоническое трезвучие. Это был первый в истории музыки аккорд, а само трезвучие

(8.5)

ныне именуется мажорным и является основой всего гармонического языка музыки. Кроме того, Царлино обнаружил, что если отложить те же большую терцию и квинту вниз от основного тона, то окраска звучания аккорда существенно изменится. Светлые тона мажора подергиваются пасмурной дымкой иного звучания- минора. Приводя аккорд 2/3÷4/5÷1 к основному тону (умножая на 3/2, т. е. сдвигая вверх на квинту), получаем минорное трезвучие

Так был открыт закон, известный сегодня каждому юному музыканту: смена большой терции на малую переводит мажорное трезвучие в минорное:

(8.6)

Мажорное трезвучие было взято за основу чистого строя. Обрамляя мажорное трезвучие 1÷5/4÷3/2 такими же трезвучиями сверху и снизу

и сводя умножением и делением на 2 построенные звуки в одну октаву, получаем чистый строй лидийской гаммы (натурального мажора):

(8.7)

Здесь кружками отмечены тоны, изменившиеся по сравнению с пифагоровым строем (8.1), цифры внизу обозначают интервалы между ступенями.

Как видим, числовые характеристики чистого строя более простые. Однако сам строй стал менее равномерным: в нем, кроме полутона 16/15, появились две разновидности целых тонов 9/8 и 10/9. Знакомые с музыкальной грамотой, конечно, увидели, что мажорные трезвучия (4÷5÷6) чистого строя построены на тонике (до), субдоминанте (фа) и доминанте (соль).

С помощью целых тонов 9/8 и 10/9 и полутона 16/15 легко построить чистый строй фригийской гаммы (см. табл. 1, с. 107), который понадобится нам в части IV:

(8.8)