Математика. Поиск истины.

Примерно до начала XIX в. подобных взглядов придерживались практически все математики, а некоторые представители математической науки разделяли их и позднее. Уильям Р. Гамильтон (1805-1865) — хотя именно он изобрел тот самый объект (кватернионы), который поставил под сомнение истинность арифметики, — в своих взглядах во многом сходился с Декартом:

Такие чисто математические науки, как алгебра и геометрия, являются науками чистого разума, не подкрепляемыми опытом и не получающими от него помощи, изолированными или могущими быть изолированными от всех внешних и случайных явлений… Вместе с тем это идеи, рожденные внутри нас, обладание которыми в сколько-нибудь ощутимой степени есть следствие нашей врожденной способности, проявления человеческого начала.

([13], с. 371.)

Один из ведущих алгебраистов XIX в. Артур Кэли, выступая с докладом перед Британской ассоциацией поощрения наук (1883), заявил, что «мы… обладаем априорными познаниями, не зависящими не только от того или иного опыта, но абсолютно от всякого опыта… Эти познания составляют вклад нашего разума в интерпретацию опыта».

В то время как одни ученые, подобно Гамильтону и Кэли, считали математику неотъемлемой частью человеческого разума, другим она представлялась существующей в мире вне человека. До начала XX в. существование единственного объективного мира математических истин, не зависящих от человека, ни у кого не вызвало сомнений, и это вполне понятно. Даже Гаусс, первым оценивший значение неевклидовой геометрии, был убежден в истинности понятий числа и математического анализа. Один из выдающихся французских математиков XX в. Жак Адамар (1865-1963) в книге «Исследование психологии процесса изобретения в области математики» утверждал: «Хотя истина еще не известна нам, она предсуществует и неизбежно подсказывает нам путь, которым мы должны следовать». На Международном математическом конгрессе в Болонье (1928) Давид Гильберт вопрошал: «Что было бы с истинностью наших знаний вообще и как обстояло бы дело с существованием и прогрессом науки, если бы даже в математике не было достоверной истины?» ([27], с. 388).

Примерно то же мнение выразил в своей книге «Апология математика» выдающийся аналитик Джефри Г. Харди (1877-1947): «Я убежден в том, что математическая реальность лежит вне нас и наша роль заключается в том, чтобы открывать или наблюдать

ее, а теоремы, которые мы доказываем и столь пышно именуем нашими «творениями», в действительности представляют просто записи наших наблюдений». Математики только открывают понятия и их свойства.

Некоторые из приведенных выше высказываний принадлежат мыслителям XX в., не уделявшим особого внимания основаниям математики или вообще не занимавшимся ими. Удивительно, что даже по утверждениям признанных лидеров в области оснований математики, таких как Давид Гильберт, Алонзо Черч и члены группы Бурбаки (см. гл. XII), математические понятия и свойства существуют в некотором смысле объективно и познаваемы человеческим разумом. Таким образом, математическую истину открывают, а не изобретают; поэтому то, что изменяется и эволюционирует, есть не математика, а лишь человеческое знание математики.

Все эти рассуждения о существовании объективного единого «здания» математики ничего не говорят об истинном «местопребывании» ее. Все они сводятся к тому, что эта наука существует в некоем «сверхчеловеческом мире», каком-то воздушном замке, а математики только открывают ее положения. Аксиомы и теоремы не есть лишь творения одного человеческого разума; подобно богатствам, скрытым в земных недрах, их надлежит извлечь на поверхность, терпеливо раскапывая одну за другой. Существование их представляется столь же независящим от человека, как существование планет.

Что же такое математика: россыпь алмазов, скрытых в недрах реального мира и постепенно извлекаемых оттуда, или груда искусственных камней, созданных людьми, столь блестящих, что они своим блеском ослепили иных математиков, которые и без того переполнены гордостью за свои творения?

Другой, восходящей к Аристотелю точки зрения, согласно которой математика всецело является продуктом человеческой мысли, придерживается школа математиков, получивших название интуиционистов. В то время как одни утверждают, что истину гарантирует человеческий разум, другие полагают, что математика — создание склонного к заблуждениям человеческого разума, а не законченный свод знаний.