Математика. Поиск истины.

Каковы существенные особенности математического метода? Первая отличительная особенность — введение основных понятий. Некоторые из таких понятий, например точка, линия и целое число, подсказаны непосредственно материальным, или физическим, миром. Помимо элементарных понятий в математике немаловажную роль играют понятия, созданные человеческим разумом. Примерами таких понятий могут служить понятия отрицательного числа, буквенные обозначения классов чисел, комплексные числа, функции, всевозможные кривые, бесконечные ряды, понятия математического анализа, дифференциальные уравнения, матрицы и группы, многомерные пространства.

Некоторые из перечисленных нами понятий полностью лишены интуитивной основы. Другие, например понятие производной (мгновенной скорости изменения), имеют под собой некую интуитивную основу в физических явлениях. Но хотя производная и связана с физическим понятием скорости, ее в гораздо большей степени можно рассматривать как конструкцию, созданную разумом, причем на качественно совершенно ином уровне, нежели, скажем, понятие математического треугольника.

На протяжении всей истории математики новые понятия поначалу вызывали весьма настороженное отношение. Даже понятие отрицательного числа сначала было отвергнуто серьезными математиками. Тем не менее каждое новое понятие, хотя и неохотно, принималось после того, как становилась очевидной его полезность в приложениях.

Вторая существенная особенность математики — ее абстрактность. Платон в диалоге «Государство» так сказал о геометрах:

Но ведь когда они вдобавок пользуются чертежами и делают отсюда выводы, их мысль обращена не на чертеж, а на те фигуры, подобием которых он служит. Выводы свои они делают только для четырехугольника самого по себе и его диагонали, а не для той диагонали, которую они начертили. Так и во всем остальном. То же самое относится и к произведениям ваяния и живописи: от них может падать тень, и возможны их отражения в воде, но сами они служат лишь образным выражением того, что можно видеть не иначе, как мысленным взором.

([2], с. 318-319.)

Если математика должна быть могучей, то в одном абстрактном понятии она должна охватывать существенные особенности всех физических проявлений этого понятия. Например, математическая прямая должна включать в себя все наиболее значительные особенности туго натянутых веревок, краев линеек, границ полей и траекторий световых лучей.

В том, что математические понятия представляют собой абстракции, нетрудно убедиться на примере наиболее элементарного понятия — числа. Непонимание абстрактного характера этого понятия может приводить к недоразумениям. Поясним эту мысль на простом примере. Человек заходит в обувной магазин и покупает три пары обуви по 20 долл. за пару. Продавец говорит, что три пары обуви по 20 долл. за пару стоят 60 долл. и ожидает, что покупатель уплатит ему эту сумму. Покупатель же возражает, утверждая, что три пары по 20 долл. за пару — это 60 пар обуви, и настаивает, чтобы продавец приготовил 60 пар обуви. Прав ли покупатель? Прав, как прав и продавец. Если число пар обуви, умноженное на доллары, может давать доллары, то почему бы тому же произведению не давать пары обуви? Ответ, разумеется, состоит в том, что мы не умножаем туфли на доллары. Мы абстрагируем числа 3 и 20 из физической ситуации, умножаем одно число на другое, получаем число 60 и интерпретируем результат в соответствии с физической ситуацией.

Еще одна отличительная особенность математики — идеализация. Математик идеализирует, намеренно отвлекаясь от толщины меловой линии при рассмотрении прямых или принимая Землю при решении некоторых задач за идеальную сферу. Сама по себе идеализация не является серьезным отступлением от реальности, но при любой попытке приложить ее к реальности возникает вопрос, достаточно ли близок исследуемый объект (например, реальная частица или траектория) к его идеальному образу.