Математика с дурацкими рисунками. Идеи, которые формируют нашу реальность

Думаю, то же удовольствие я получаю от математики. Хороший математический аргумент, как и хорошо сконструированная ферма, просто-напросто функционирует. Уберите один основополагающий постулат, и все придуманное вами рухнет. Здесь есть неоспоримая грация: минимализм, поддерживающие друг друга элементы, абсолютная прочность и ни единой лишней унции.

Я не могу объяснить, почему те или иные вещи кажутся мне прекрасными. (Скажем, поп-рок девяностых.) Но я знаю, что в повествовании о треугольнике есть нечто превосходное. Трехсторонность делает его уникальным; уникальность, в свою очередь, делает его могущественным; могущество же делает его ключевым элементом современной архитектуры. Возможно, есть натяжка в утверждении о том, что треугольник «спасает мир», но, если вам интересно мое мнение, он делает мир лучше. Треугольник позволил миру стать таким, какой он есть.

Глава 7. Иррациональная бумага

По прибытии в Англию[38] я был готов столкнуться с огрехами моего американского воспитания. Вместо научных градусов Цельсия я пользовался архаичными градусами Фаренгейта. Вместо аккуратных километров (состоящих из 1000 метров) я использовал причудливые мили (состоящие из 5280 футов). Вместо чая я заливал в свой топливный бак карамельные коктейли, будучи верен бренду «Старбакс». И я заранее знал, что мне непросто дастся адаптация к традициям цивилизованного мира.

Но был один культурный шок, который я не предвидел: форматы бумаги.

Как все янки, я вырос, используя бумагу формата US Letter: 8,5 дюймов (21³/₅ см) в ширину и 11 дюймов (27¹⁹/₂₀ см) в длину, поэтому иногда этот формат называют броским именем — поистине убийственный брендинг — «восемь с половиной на одиннадцать». Если бы я пораскинул мозгами, то понял бы, что в других странах вместо дюймов ведут измерения в сантиметрах, поэтому формат US Letter им вряд ли подойдет.

Название «восемь с половиной на одиннадцать» представляется мне неуклюжим, но оно меркнет на фоне ужасного словосочетания «двадцать один и три пятых на двадцать семь и девятнадцать двадцатых».

Когда же я увидел листки их формата — известного под еще менее привлекательным названием «A4» — я испытал к ним острое отвращение. Они слишком узкие, как модные джинсы. Я давно привык к свободному крою типа клеш, и все мое существо раздражала эта изящная европейская белиберда. Длина бумаги формата US Letter примерно на 30 % больше ее ширины; очевидно, что в Европе соотношение было иным. И, что столь же очевидно, оно было хуже.

Поэтому я решил присмотреться к размерам бумаги A4. Я предполагал что-то вроде 22,5 см на 28 см или, возможно, 23 см на 30 см.

Мило и аккуратно с точки зрения этих европейцев, помешанных на метрической системе мер, не правда ли?

А вот и нет. Верный ответ: 21 см на 29,7 см.

Какого черта?

Я поделил 29,7 на 21, чтобы выяснить упрощенное соотношение: примерно 1,41. Будучи учителем математики, я сразу же узнал это число: оно (приблизительно) равно иначе говоря, квадратному корню из двух. И если раньше я недоумевал, то теперь мгновенно зарычал и воспылал негодованием.

— иррациональное число: то есть оно не является соотношением двух целых чисел.

Производители бумаги выбрали иррациональную пропорцию, которая — я не стану деликатничать — вообще вне всякого рацио.

Как правило, в жизни мы пользуемся двумя видами чисел: (1) целыми числами, например: «У меня трое детей», «Каждое утро мои дети съедают пять тарелок каши» и «Спектр пятен на одежде моих детей — более 17 цветов»; (2) соотношениями целых чисел, например: «Мы тратим ¼ семейного дохода на конструктор „Лего“», «Дома, где живут дети, в 17½ раз чаще разрисованы фломастером», «Эй, когда успели поседеть ⅔ моих волос?».

(Должен заметить, что десятичные дроби, которыми вы пользуетесь ежедневно, тоже представляют собой замаскированные соотношения целых чисел. Скажем, 0,71 доллара — это просто ⁷¹/₁₀₀ доллара.)

Но некоторые дикие экзотические числа не подпадают ни под одну из этих категорий. В них не просто нет цельности — охотясь за ними, мы попадаем мимо цели: их нельзя записать в виде дроби. (Мой 12-летний ученик Адам, чей интеллект блистательнее моего, назвал их «неудробноваримыми»[39]). Вы не сможете подстрелить эти числа обыкновенной или десятичной дробью. Они будут постоянно ускользать.

Именно таким и оказывается — число, при умножении само на себя дающее 2. Присмотримся к нему.

Нет подходящей десятичной дроби, которая в точности равна и подходящей обыкновенной дроби тоже нет. ⁷/₅? Близко. ¹⁴¹/₁₀₀? Ближе. ^665 857/_470 832? Так близко, что ответ уже маячит где-то рядом. Но мы никогда не найдем точного ответа. Никогда в точности не будет

не просто иррациональное число. Наряду с π это одно из самых знаменитых иррациональных чисел в математике. По легенде, пифагорейцы, исповедующие культ разума, были настолько ошеломлены, узнав о невозможности записать в виде дроби, что утопили математика, который сообщил об этом открытии.