Математика. Утрата определенности.

Итак, XVIII в. закончился, оставив обоснование дифференциального и интегрального исчисления и высших разделов математического анализа в крайне неудовлетворительном состоянии. Без преувеличения можно было сказать, что к началу XIX в. ситуация с обоснованием математического анализа выглядела гораздо хуже, чем в канун XVIII в. Гиганты науки, главным образом Эйлер и Лагранж, дали неверные обоснования анализа. А поскольку их авторитет был чрезвычайно велик, многие из их коллег воспринимали и некритически повторяли все, что делали корифеи, и даже пытались строить новые теории на возведенных теми ложных основаниях. Другие, менее доверчивые, не были удовлетворены тем, что предлагали Эйлер и Лагранж, но надеялись достичь полного обоснования путем незначительных поправок и дополнений. Нужно ли говорить, что и они стояли на неверном пути.

VII

Нелогичное развитие: серьезные трудности на пороге XIX в.

Почто, о боги, в этом мире

Должно быть дважды два — четыре?

Александр Поп

К началу XIX в. математика оказалась в весьма парадоксальной ситуации. Ее успехи в описании и предсказании физических явлений превзошли самые смелые ожидания. Но при этом многие математики еще в XVIII в. отмечали, что все огромное здание математической науки было лишено логического фундамента и держалось на столь шатких основаниях, что не было уверенности в «правильности» этой науки. Подобная ситуация сохранялась и в течение всей первой половины XIX в. Многие математики с головой ушли в новые области физики и добились там значительных успехов, а об основаниях математики никто попросту не задумывался. Естественно, что критика по поводу учения об отрицательных и комплексных числах, а также в адрес алгебры, дифференциального и интегрального исчисления и других разделов стремительно развивавшегося математического анализа не утихала.

С какими же трудностями столкнулась математика в начале XIX в.? Вряд ли необходимо останавливаться на возражениях, которые продолжали выдвигаться против использования иррациональных чисел: ведь, как мы уже отмечали, иррациональные числа можно представлять как точки на прямой — и потому на чисто интуитивном уровне их принятие вряд ли было сопряжено с большими трудностями, чем использование целых и дробных чисел; польза же от введения иррациональных чисел была несомненна. В результате иррациональные числа, не имевшие сколько-нибудь серьезного научного обоснования, были приняты без особых возражений. Однако отрицательные и комплексные числа по-прежнему доставляли немало беспокойства, так как интуитивно казались неприемлемыми. В XIX в., как и в предыдущие столетия, многие их все еще просто отвергали или довольно злобно критиковали их использование.

Уильям Френд (1757-1841), тесть Огастеса де Моргана и член совета колледжа Иисуса Кембриджского университета, в предисловии к своей книге «Начала алгебры» (1796) заявлял без обиняков:

[Любое число] допустимо вычитать из большего числа, но любая попытка вычесть какое-либо число из меньшего числа смехотворна сама по себе. Тем не менее именно это пытаются делать алгебраисты, толкующие о числах, меньших нуля; об умножении отрицательного числа на отрицательное, дающем положительное произведение; о мнимых числах. Они разглагольствуют о двух корнях любого уравнения второй степени и предлагают тому, кто их слушает, попытать счастья с доставшимся ему уравнением; они толкуют о решении уравнения, имеющего лишь невозможные, или мнимые корни; они умеют находить невозможные числа, которые при многократном переумножении дают единицу. Все это не более чем жаргон, в котором нет ни капли здравого смысла. Но будучи однажды принят, он, подобно многим другим измышлениям, находит множество горячих приверженцев среди тех, кто охотно принимает на веру всякую бессмыслицу и не склонен к серьезным размышлениям.