Математика. Утрата определенности.

Насколько более убедительны и ближе к фактам эвристические аргументы и последующие систематические построения в общей теории относительности Эйнштейна или в квантовой механике Гейзенберга — Шредингера. Подлинно реалистическая математика наряду с физикой должна восприниматься как часть теоретического описания единого реального мира и по отношению к гипотетическим обобщениям своих оснований занять такую же трезвую и осторожную позицию, какую занимает физика.

Вейль открыто выступает за то, чтобы рассматривать математику как одну из естественных наук. Математические теоремы, подобно физическим утверждениям, могут быть формально не обоснованными, но экспериментально проверяемыми гипотезами. Иногда они подлежат переделке, но надежным критерием их правильности служит их соответствие реальности.

Еще дальше пошел выдающийся представитель формалистской школы Хаскелл Б. Карри. В его «Основаниях математической логики»{174}

(1963) мы читаем:

Нужна ли математике для своего оправдания абсолютная надежность? Зачем, скажем, нам так уж нужно быть уверенными в непротиворечивости теории или в том, что ее можно вывести с помощью абсолютно определенной интуиции чистого времени, прежде чем использовать эту теорию? Ведь ни к какой другой науке мы не предъявляем таких требований. В физике, например, теории всегда гипотетичны; мы принимаем теорию, коль скоро на ее основе можно делать полезные предсказания, и видоизменяем или отвергаем ее, коль скоро этого сделать нельзя. Именно так случалось и с математическими теориями, когда в связи с обнаружением в них противоречий приходилось модифицировать не оспариваемые до того времени доктрины. Так почему мы не можем поступать так же и в будущем?

([125], с. 38-39.)

Выдающийся математический логик Уиллард Ван Орман Куайн, предпринявший много безуспешных попыток упростить «Основания математики» Рассела и Уайтхеда, также выразил желание (по крайней мере, заявил о нем сравнительно недавно) воспользоваться как критерием математических результатов физической истинностью следующих из них выводов. В работе 1958 г., опубликованной в серии «Философское значение современной логики» Куайн утверждал:

Теорию множеств и всю математику разумнее представлять себе так, как мы представляем теоретические разделы естественных наук, — состоящими из истин, или гипотез, правильность которых подтверждается не столько сиянием безупречной логики, сколько косвенным систематическим вкладом, который они вносят в организацию эмпирических данных в естественных науках.

Джон фон Нейман, внесший весомый вклад в развитие формализма и теории множеств, охотно воспользовался тем же выходом из тупика, в котором оказалась современная математика. В знаменитой статье «Математик» (1947) фон Нейман, в частности, попытался объяснить, почему большинство математиков продолжают пользоваться классической математикой, хотя ни одной из нескольких школ в основаниях математики не удалось убедительно обосновать ее: