Математика. Утрата определенности.

Верил в истинность математики и Бертран Рассел, хотя он и понимал эту истинность в несколько ограниченном смысле. В 1890 г. он предпринял попытку проанализировать вопрос о том, какие свойства пространства необходимы и могут быть приняты до опыта, т.е., если бы любое из этих априорных свойств мы стали бы отрицать, то опыт утратил бы смысл. В своей работе «Очерк оснований геометрии» (Essay of the Foundations of Geometry

, 1897) Рассел признал, что геометрия Евклида не является априорным знанием. В этой же книге он пришел к заключению, что из всех геометрий априорность присуща лишь проективной геометрии{58}

— заключение вполне понятное, если принять во внимание то значение, которое придавали проективной геометрии на рубеже XIX-XX вв. К проективной геометрии в качестве априорных истин Рассел добавил аксиомы, общие для евклидовой и всех неевклидовых геометрий. Эти аксиомы относились к однородности пространства, конечномерности и к понятию расстояния, позволяющему производить измерения. Рассел также указал на то, что количественным соображениям должны предшествовать чисто качественные, и использовал этот тезис для подкрепления приоритета проективной геометрии.

Что касается метрических геометрий, к числу которых относятся евклидова и несколько неевклидовых геометрий, то они могут быть получены из проективной геометрии, если подходящим образом определить расстояние между точками. Поэтому Рассел считал их создание чисто техническим достижением, не имеющим философского значения. Во всяком случае, специфические теоремы метрических геометрий, с точки зрения Рассела, не являются априорными истинами. Что же касается нескольких основных метрических геометрий, то Рассел, расходясь во мнениях с Кэли и Клейном, считал, что все они логически одинаково обоснованы. Поскольку априорными свойствами из всех метрических геометрий обладают только евклидова, гиперболическая, эллиптическая и удвоенная эллиптическая геометрии, то Рассел заключил, что ими исчерпываются все возможные метрические геометрии и что евклидова геометрия — единственная из всех геометрий, применимая к физическому миру. Все остальные геометрии имеют философское значение, так как доказывают возможность существования других геометрических систем, отличных от разработанной древними греками. Оглядываясь назад, мы ясно видим, что широко распространенное пристрастие к евклидовой геометрии уступает у Рассела место пристрастию к проективной геометрии. Много лет спустя, Рассел признал «Очерк» юношески незрелым произведением, более не выдерживающим критики. Как мы увидим в дальнейшем (гл. X), Рассел вместе с другими философами выдвинул новую основу для установления истины в математике.

Настойчивость, проявленная математиками в поиске каких-либо абсолютных истин, вполне понятна. После многих столетий блистательных успехов математики в описании и предсказании физических явлений природы мысль о необходимости признать ее не коллекцией алмазов, а собранием искусственных камней была тяжела для каждого, а особенно для тех, кто был ослеплен гордостью за свои собственные достижения. Однако постепенно математики свыклись с тем, что аксиомы и теоремы их науки утратили статус истин о физическом мире. Некоторые области опыта подсказывали выбор специальных систем аксиом — для таких областей эти аксиомы и логические следствия из них были применимы достаточно точно, что позволило считать их полезным описанием действительного. Но расширение такой области может пагубно сказаться на применимости аксиом и теорем. Что касается изучения физического мира, то математика не предлагает ничего, кроме теорий, или моделей. Всякий раз когда накопленный нами опыт или специальный эксперимент показывает, что новая теория дает более точное описание реальности, чем старая, старую теорию вполне допустимо заменить новой. Отношение математики к физическому миру прекрасно выразил в 1921 г. Эйнштейн:

Если теоремы математики прилагаются к отражению реального мира, они не точны; они точны до тех пор, пока не ссылаются на действительность… Однако, с другой стороны, верно и то, что математика вообще и геометрия в частности обязаны своим происхождением необходимости узнать что-либо о поведении реально существующих объектов.

([31], с. 83-84.)