Математика. Утрата определенности.

Все участники острой полемики, развернувшейся вокруг проблемы расширения понятия числа, мыслили непоследовательно. В первой половине XVIII в. было принято считать, что некоторые операции над комплексными числами, например операция возведения комплексного числа в комплексную степень, могут привести к числам совершенно новой природы. Подобным представлениям положил конец Д'Аламбер, доказавший в своей работе «Размышления об общей причине ветров» (1747), что все операции, производимые над комплексными числами, порождают только комплексные числа. Доказательство Д'Аламбера было усовершенствовано Эйлером и Лагранжем, но решающий шаг здесь сделал именно Д'Аламбер. По-видимому, Д'Аламбер сознавал непоследовательность и даже противоречивость собственных представлений о комплексных числах. Во всяком случае, в «Энциклопедии», для которой он написал много математических статей, о комплексных числах ни разу не упоминается.{73}

Не было полной ясности в вопросах, связанных с комплексными числами, и у Эйлера. В своей «Алгебре» (1770), лучшем учебном курсе XVIII в. по этой дисциплине, Эйлер утверждал:

Квадратные корни из отрицательных чисел не равны нулю, не меньше нуля и не больше нуля. Отсюда ясно, что квадратные корни из отрицательных чисел не могут находиться среди возможных [действительных, вещественных] чисел. Следовательно, нам не остается ничего другого, как признать их невозможными числами. Это приводит нас к понятию чисел, по своей природе невозможных и обычно называемых мнимыми или воображаемыми, потому что они существуют только в воображении.

Производя операции над комплексными числами, Эйлер порой и ошибался. Так, в его «Алгебре» фигурирует равенство √−1∙

√−4 = √4 = 2, выписанное по аналогии с тождеством √a∙√b=√ab, справедливым для положительных 

a и b, т.е. для вещественных корней.

Называя комплексные числа невозможными, Эйлер в то же время отмечал их полезность. В частности, он считал комплексные числа полезными по той причине, что они якобы позволяют отличать задачи, имеющие решения, от задач, не имеющих решения. Так, если бы нам понадобилось разложить число 12 на две части, произведение которых должно было бы равняться 40 (намек на задачу Кардано), то мы обнаружили бы, что эти части равны соответственно 6 + √−4 и 6 − √−4, т.е., согласно Эйлеру, узнали бы, что задача неразрешима.

Несмотря на множество принципиальных возражений против комплексных чисел, на протяжении XVIII в. их широко использовали, свободно применяя к ним правила арифметических действий над вещественными числами. Так математики получали практические навыки в обращении с комплексными числами. В тех случаях, когда комплексные числа применялись лишь на промежуточных стадиях математических доказательств, полученные с их помощью окончательные результаты всегда оказывались верными, что не могло не произвести благоприятного впечатления. Тем не менее математиков не оставляли сомнения в правильности такого рода доказательств, а иногда даже и получаемых с их помощью результатов.

Общее отношение математиков к узакониванию научного статуса тех разновидностей чисел (иррациональных, отрицательных и комплексных), которые доставляли им столько хлопот, отчетливо выразил Д'Аламбер в своей статье об отрицательных числах, написанной для «Энциклопедии». В целом эта статья была написана недостаточно ясно и завершалась следующим признанием: «Алгебраические правила действий над отрицательными числами ныне общеприняты, и все признают их точными независимо от того, что бы мы ни думали о природе этих чисел».