Математика. Утрата определенности.

Начинать исследование можно по-разному. Все равно начало почти всегда оказывается весьма несовершенной, нередко безуспешной попыткой. Есть истины, как страны, наиболее удобный путь к которым становится известным лишь после того, как мы испробуем все пути.

Кому-то приходится, рискуя собой, сходить с проторенной дороги, чтобы указать другим правильный путь… На пути к истине мы почти всегда обречены совершать ошибки,

Дени Дидро

Математический анализ, ядро которого составляет дифференциальное и интегральное исчисление — самая тонкая область всей математики, — был построен на совсем не существующих логических основаниях арифметики и алгебры и на не вполне ясных основах евклидовой геометрии. Если вспомнить о замеченных нами недостатках в сравнительно простых разделах математики, то нетрудно представить себе, какого напряжения сил и способностей потребовало от математиков создание основной системы понятий и логической структуры дифференциального и интегрального исчисления. Именно так и обстояло дело в действительности.

В основе математического анализа лежит понятие функции. Не стремясь к особой строгости, функцию можно описать как зависимость между переменными. Поясним это на простом примере. Если, скажем, с крыши дома бросить мяч, то и расстояние, проходимое им в процессе падения, и время падения будут возрастать. Расстояние и время — переменные, а функция, связывающая расстояние и время (если пренебречь сопротивлением воздуха), определяется формулой d = 4,9t², где t

— время падения (в секундах), а d — расстояние (в метрах), пройденное мячом за время t с момента падения.

Происхождение любой важной идеи всегда можно проследить, углубляясь в историю на десятилетия, если не на века. В полной мере это относится и к понятию функции. Тем не менее явный смысл понятие функций обрело лишь в XVII в. Мы не будем здесь вникать в подробности этого процесса. Для нас гораздо важнее другое: хотя понятие функции весьма «прямолинейно» и, казалось бы, не таит в себе никаких «подводных камней», но даже и простейшие функции охватывают все типы вещественных чисел. Так, в приведенном нами примере мы могли бы поинтересоваться значением d при

t = √2. Точно так же можно было бы спросить, чему равно t, когда d равно, скажем, 50: при d = 50,

как нетрудно видеть, t = √(50/4,9), т.е. принимает иррациональное значение. Но, как мы уже отмечали, в XVII в. понятие иррационального числа еще не получило должного истолкования. Следовательно, едва зародившейся теории функций явно недоставало логических обоснований, как не было их и у арифметики. Однако, поскольку к середине XVII в. математики привыкли свободно обращаться с иррациональными числами, на отсутствие таких обоснований никто не обращал внимания.

Две проблемы привлекали к себе внимание величайших математиков XVII в., наиболее известными среди которых были Кеплер (1571-1630), Декарт (1596-1650), Бонавентура Кавальери (1598-1647), Ферма (1601-1665), Блез Паскаль (1623-1662), Джеймс Грегори (1638-1675), Жиль Персон, называвший себя де Робервалем{76} (1602-1675), Христиан Гюйгенс (1629-1695), Исаак Барроу (1630-1677), Джон Валлис (1616-1703) и, конечно же, Исаак Ньютон (1643-1727) и Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646-1716). Каждый из этих ученых по-своему подошел к проблемам определения и вычисления производной и определенного интеграла. Одни из творцов дифференциального и интегрального исчисления рассуждали чисто геометрически, другие — чисто алгебраически, третьи использовали смешанный алгебро-геометрический подход. Нас будет интересовать, насколько создателям новых методов исчисления удалось приблизиться к образцам математической строгости. Для этого достаточно обратиться к нескольким наиболее типичным примерам, поскольку многие из предложенных методов были очень ограниченными и особого упоминания не заслуживают.