Математика. Утрата определенности.

Ферма никогда не занимался обоснованием своего метода, и, хотя он по праву может быть назван одним из создателей математического анализа, ему не удалось продвинуться здесь особенно далеко. Он был достаточно осторожен, чтобы пытаться формулировать общие теоремы, если сознавал, что какая-либо идея не обоснована им полностью.{77} Ферма довольствовался тем, что предложил правильный алгоритм, которому смог дать геометрическую интерпретацию, и надеялся, что когда-нибудь удастся найти полное геометрическое обоснование предложенного им метода.

Второе понятие математического анализа, доставившее немало хлопот его создателям, — (определенный) интеграл — встречается, например, при вычислении площадей фигур, ограниченных целиком или частично кривыми линиями, объемом тел, ограниченных изогнутыми поверхностями (не плоскостями!), а также центров тяжести тел различной формы. Чтобы понять, какого рода трудности встречаются при использовании понятия определенного интеграла, рассмотрим вычисление площади криволинейной трапеции.

Предположим, требуется найти площадь криволинейной трапеции DEFG (рис. 6.1), ограниченной дугой FG кривой, задаваемой уравнением y = x², отрезком DE оси x и вертикальными отрезками DG и EF. В этом случае, как и при вычислении производной, мы хотим найти интересующую нас величину методом все более точных последовательных приближений. Нечто подобное предприняли математики XVII в.

Рис. 6.1. Криволинейная трапеция DEFG.

Разобьем отрезок DE на три равные части (каждая длиной h) и обозначим точки разбиения через D₁, D₂, и D₃ (точка D₃ совпадает с точкой E, рис. 6.2). Пусть y₁, y₂, и y₃ — ординаты в точках разбиения. Тогда y₁h, y₂

h, и y₃h — площади трех прямоугольников, изображенных на рис. 6.2, а

y₁h + y₂h + y₃h (5)

— сумма площадей этих трех прямоугольников, являющаяся некоторым приближением к площади DEFG.

Рис. 6.2. Вычисление площади криволинейной трапеции (основание DE разбито на 3 части).

Лучшее приближение к площади криволинейной трапеции DEFG мы можем получить, уменьшая размеры прямоугольников и увеличивая их число. Предположим, что отрезок DE мы разбили не на три, а на шесть частей. На рис. 6.3, в частности, показано, что произойдет при таком разбиении со средним прямоугольником, изображенным на рис. 6.2: после разбиения его заменяют два прямоугольника. Поскольку за высоту каждого прямоугольника мы выбираем ординату y в соответствующей точке разбиения отрезка DE, заштрихованный прямоугольник на рис. 6.3 уже не входит в сумму площадей тех шести прямоугольников, которыми аппроксимируется теперь площадь криволинейной трапеции DEFG. Следовательно, сумма

y₁h + y

₂h + y₃h + y₄h + y₅h + y₆h (6)

(где новое h в два раза меньше прежнего) дает более точное приближение к площади трапеции DEFG, чем сумма (5).

Рис. 6.3. Вычисление площади криволинейной трапеции DEFG (основание DE разбито на 6 частей)

Относительно применяемого нами метода последовательных приближений можно в общем сказать следующее. Разделив отрезок DE на n частей, мы получили бы n прямоугольников, каждый шириной h.

Пусть y₁, y₂, …, y_n — ординаты в точках разбиения (многоточие означает, что включены все ординаты y в точках разбиения). Сумма площадей n прямоугольников равна

y₁h + y₂h + y₃h + … + y_nh (7)

(и на этот раз многоточие означает, что в сумму входят все промежуточные прямоугольники). Мы уже говорили о том, как влияет на точность приближения разбиение отрезка DE на все более мелкие части. Следовательно, приближенное значение площади криволинейной трапеции DEFG, задаваемое суммой (7), с увеличением n становится все более точным. Но по мере возрастания n убывает h, поскольку h = DE/n. Итак, мы установили, что фигуры, ограниченные отрезками прямых (в нашем случае — прямоугольниками), позволяют добиться все более точного приближенного вычисления площади фигуры, ограниченной кривой.