Математика. Утрата определенности.

В защиту Кавальери выступил и Паскаль. В своих «Письмах из Деттонвиля» (1658) он утверждал, что геометрия неделимых превосходно согласуется с евклидовой геометрией: «То, что может быть доказано с помощью истинных правил неделимых, может быть также доказано со всей строгостью на манер древних». По мнению Паскаля, геометрия неделимых Кавальери и геометрия древних греков отличаются только терминологией. Метод неделимых, считал Паскаль, должен быть принят каждым математиком, претендующим на то, чтобы считаться геометром. Но и у Паскаля не было определенного мнения относительно математической строгости. Иногда он утверждал, что, подобно тому как религия ставит милосердие превыше разума, так и для получения правильных результатов необходима истинная «утонченность», а не логика, присущая геометрии. Парадоксы геометрии, проявившиеся в математическом анализе, Паскаль сравнивал с кажущимися нелепостями христианства и считал, что неделимые значат в геометрии не более чем суд мирской в сравнении с судом божьим.

Согласно Паскалю, необходимые поправки в идеи нередко вносит не разум, а душа (гл. II). В своих «Мыслях» он говорит: «Мы постигаем истину не только разумом, но и душой. Из последнего источника мы познаем первые принципы, и разум, не принимающий в этом участия, тщетно пытается сражаться с душой… На нашем знании души и инстинкта с необходимостью зиждется разум, и этим знанием он питается». Разумеется, такими рассуждениями Паскаль никак не мог помочь уяснению метода Кавальери.

Наибольший вклад в создание математического анализа внесли Ньютон и Лейбниц. Ньютон почти не занимался понятием интеграла, но интенсивно разрабатывал понятие производной. По существу, предложенный им метод вычисления производной мало чем отличался от метода Ферма. Не было у Ньютона и большей ясности относительно логического обоснования понятия производной. Математическому анализу Ньютон посвятил три работы. Кроме того, он коснулся этого вопроса в наиболее значительном из своих сочинений — «Математических началах натуральной философии», вышедших тремя изданиями. Излагая в первой работе (1669 — см. [140]) свой метод вычисления производной, Ньютон заметил, что он его скорее «кратко объяснил, чем строго доказал». При вычислении производной Ньютон воспользовался тем, что h и k — неделимые. Во второй работе (1671) Ньютон замахнулся на большее: он заявил, что изменил свою точку зрения на переменные и считает теперь необходимым рассматривать их не как дискретные, а как непрерывно изменяющиеся величины (в случае дискретных переменных величины h

в конечном счете вырождаются в неделимые). Ньютон утверждал, что ему удалось избавиться от чрезмерной жесткости теории неделимых, которую он применил в первой работе. Однако внесенные Ньютоном изменения, по существу, никак не сказались на ходе вычисления производной, или, как предпочитал ее называть сам Ньютон, флюксии. И с логикой во второй работе дело обстояло ничуть не лучше, чем в первой.

В своей третьей работе по математическому анализу — «Рассуждения о квадратуре кривых» (1676) — Ньютон еще раз заявил, что отказывается от бесконечно малых величин (в конечном счете неделимых), и критически отозвался об отбрасывании членов в соотношении (3), содержащих множитель h, поскольку «в математике не следует пренебрегать даже самыми малыми ошибками». После этих предварительных замечаний Ньютон дал новое объяснение понятия «флюксия»: «Флюксии, когда приращения флюэнт [переменных] возникают во все большем числе, отличаются сколь угодно мало и сами сколь угодно малы, и если говорить точно, то они пропорциональны возникающим приращениям…». Разумеется, пользы от столь смутных объяснений было немного. Что же касается метода вычисления флюксией, то с логической точки зрения третья работа Ньютона была столь же малообоснованной, как и первая. Производную Ньютон вычислял, отбросив все члены в (2), содержавшие

h в степени выше первой, например члены с h².

Несколько утверждений относительно флюксий Ньютон высказал в своем главном труде «Математические начала натуральной философии» (1-е изд., 1687). От неделимых в пределе величин он отказался в пользу «исчезающе делимых величин», т.е. величин бесконечно делимых. В первом и в третьем изданиях «Начал» Ньютон утверждал:

Предельные отношения исчезающих количеств не суть отношения пределов этих количеств, а суть те пределы, к которым при бесконечном убывании количеств приближаются отношения их и к которым эти отношения могут подойти ближе, нежели на любую наперед заданную разность, но которых превзойти или достигнуть на самом деле не могут, ранее чем эти количества уменьшатся бесконечно.

([20], с. 70.)