Многоликий солитон

_{*) Эти математики не только разрабатывали теорию, но и непосредственно участвовали в строительстве первых в мире автоматических ЭВМ с хранимой программой, предлагая новые математические и инженерные идеи.}

Такой же вопрос, только в более конкретной форме, ставит фон Нейман в 1946 г.: «Какие стороны чистой и прикладной математики можно развить, используя крупные автоматические вычислительные машины?» Ответ он дает очень точный. «Известные нам сегодня аналитические методы представляются непригодными для решения проблем, возникающих в связи с нелинейными дифференциальными уравнениями в частных производных, а в действительности — для решения практически всех видов нелинейных задач математики. Это в особенности ярко проявляется в динамике жидкости. В этой области были решены в аналитическом виде лишь самые простые задачи... Прогресс в математическом анализе сегодня застопорился практически по всему фронту нелинейных проблем... и лишь по-настоящему эффективные быстродействующие вычислительные устройства... могут дать нашей интуиции указания, необходимые для действительного прогресса во всех областях математики...»

Там же фон Нейман подчеркивает, что большинство этих трудных и даже неприступных математических задач родилось в физике и до сих пор физические эксперименты в какой-то мере давали подсказки нашей интуиции. Однако возможности физических экспериментов ограничены, а их истолкование часто очень затруднено и неоднозначно. В реальной жизни редко удается сделать идеальную карикатуру на явление, всегда остается слишком много лишних деталей. То ли дело — «поставить эксперимент» на вычислительной машине! Здесь мы вольны взять идеальную математическую модель изучаемого явления и вместо экспериментов рассчитывать ее поведение в разных условиях. После того как самые яркие, интересные явления будут обнаружены, можно «испортить» модель, приблизив ее к физической реальности. Такой подход к решению физических (да и математических) задач называют по-разному: «численным моделированием

», «машинным или численным экспериментом». Дело не в названии. Важна идея экспериментального подхода к решению математических задач, когда мы не просто выполняем численный расчет в общем понятного нам явления, а пытаемся подсмотреть нечто совсем новое, неизвестное в подстроенных нами условиях.

Наверное, стоит пояснить суть машинного эксперимента на знакомом примере. Допустим, мы изучаем дислокации в модели Френкеля — Конторовой и у нас возникла туманная пока идея, что небольшие сгущения или разрежения атомов могут двигаться по цепочке, примерно как импульсы в натянутой струне. Мы заложим в машину программу решения уравнения Френкеля — Конторовой при различных начальных условиях. Скажем, такой-то кусок цепочки атомов сдвинут на такое-то расстояние, а затем отпущен. Машина вычислит нам дальнейшие события в цепочке, а современная ЭВМ может представить результат в виде набора рисунков, изображающих состояние цепочки в последовательные моменты времени, или даже изготовит для нас кинофильм, в котором события будут развиваться с удобной для человеческого восприятия скоростью (т. е. в удобном масштабе времени). Рассматривая эти картинки или фильмы, мы могли бы обнаружить рождение солитонов из довольно нерегулярных первоначальных возбуждений — «рождение солитонов из пены», столкновение солитонов и антисолитонов, образование бризеров, — в общем, всю солитонную физику.

Примерно так и произошло второе рождение солитонов, только не столь просто и быстро. Настоящий машинный эксперимент, в котором ищется что-то действительно новое, во многих отношениях не проще, чем реальный физический эксперимент. Он требует хорошего оборудования — ЭВМ плюс всякие дополнительные устройства для обработки и наглядного изображения информации. Его обычно выполняет целый коллектив ученых: математики, вычислители-программисты, физики. Надежную работу ЭВМ обеспечивает коллектив обслуживающих ее инженеров и техников. Все это очень сложно, и может возникнуть вопрос: «А удастся ли таким способом обнаружить что-то действительно неожиданное?»

Во-первых, вы можете рассчитывать получить одно, а на деле выйдет совсем другое. «Ищешь Индию — найдешь Америку!» Так получилось и с солитоном. Сначала, как мы увидим, о солитонах вовсе никто и не думал, искали ответ на вопросы, не имеющие к ним никакого отношения.