Многоликий солитон

Турбулентность — очень сложное явление, точнее, комплекс явлений. Наблюдается много разных типов турбулентности, по-разному беспорядочных. Простых же математических моделей турбулентных движений долго не удавалось найти. Такие модели появились лишь недавно, и в их изучении основную роль играют машинные эксперименты. Это не удивительно, так как турбулентность тоже тесно связана с нелинейностью, и к ней в полной мере относятся приведенные выше слова фон Неймана.

Если у вас есть простая вычислительная машинка, вы можете изучить самую простую модель турбулентного движения. Эта модель поразительно проста, и тем не менее она воспроизводит характерные черты очень сложных и широко распространенных явлений образования хаоса. Существует целый класс подобных моделей, на мы приведем здесь одну. Для ее изучения нужно знать три арифметических операции!

Представьте себе ученую «блоху», владеющую всеми тремя действиями арифметики и прыгающую не просто так, а по определенному закону. Если она в момент времени t_n = n · Δt (n = 0, 1, 2, 3, ...) сидит в точке x_n на оси x, то в следующий момент t_n+1 = (n + 1) Δt она перепрыгивает в точку x_n+1 = b - x_n², где b — некоторое выбранное число, свое для каждой блохи (назовем ее, скажем, «постоянной блохи»). Пусть блоха начинает движение из некоторой точки отрезка -2  x  +2. Наша задача — определить, куда она может убежать за большое время, т. е. представить себе, каким может быть x_n при больших значениях n.

Как ни проста эта задача на вид, вам едва ли удастся найти ее решение без помощи микрокалькулятора. Однако прежде чем приступить к экспериментам, стоит немного подумать, чего от них можно ожидать. Рассмотрим кривую AA₀A₁ (рис. 7.1), соответствующую уравнению x² + x = b. Если x_n

стремится к некоторому пределу, то предельное значение будет лежать на этой кривой.

Численные эксперименты, однако, показывают, что только блохи, для которых точки с координатами (x₀, b) лежат внутри фигуры A₀B₁B₁'A₀' (кривая A₀'A₀ получается зеркальным отражением относительно оси Ob), приближаются к кривой A₀А₁. При этом на ветвь A₀A они никогда не попадают, а если их постоянные b и начальные координаты x₀ таковы, что точка (x₀

, b) лежит в заштрихованной области, то такие блохи убегают на бесконечность. Судьба наших ученых блох с постоянной b 0,75 полностью определена. Что бы они ни делали, они либо погибают «в бесконечности», либо притягиваются к точкам на кривой A₀А₁, где мы их легко ловим. Почти столь же печальна судьба блох, у которых (x₀, b) лежит в области B₁B₂B₂'B₁'. Они в конце концов попадают на кривую A₂A₁A₂', и при достаточно большом n перескакивают на каждом шаге с A₁A₂' на A₁

A₂ и обратно. Уравнение этой кривой тоже легко определить, воспользовавшись тем, что в пределе больших n после двух последовательных скачков, блоха оказывается вблизи той же ветви, т. е. x_2+n  x_n. Отсюда находим x_n+2 = b - (b - x_n²)² и в пределе, когда x_n+2  x_n  x, находим для x уравнение (b - x²)² - (b - x) = 0. Легко проверить, что левая часть этого уравнения равна произведению двух множителей: (x² + x - b) и (x

² - x + 1 - b). Обращение в нуль первого множителя дает кривую AA₀A₁, а второго — кривую A₂A₁A₂'.

До сих пор мы могли бы более или менее точно предсказать, что будет происходить. При увеличении «блошиной» постоянной все, однако, быстро усложняется. Кривые, которые их притягивают, продолжают раздваиваться, и при b 1,5 скачки становятся почти непредсказуемыми, беспорядочными. На рисунке этому соответствует зачерненная область. Например, если блоха начинает движение на отрезке B₃B₃', то она притянется к отрезку C₃C₃'. Предельные значения ее координат плотно заполняют этот отрезок (на самом деле, как показывают дальнейшие эксперименты, устройство зачерненного притягивающего множества гораздо сложнее, читатель может попробовать изучить его в экспериментах).

Притягивающее множество в научной литературе называют аттрактором. Например, аттрактор маятника с трением состоит из единственной точки нижнего положения равновесия. Аттрактор раскачиваемых качелей — периодическое движение, при котором потери на трение точно компенсируются энергией, затрачиваемой на раскачивание. Аттрактор нашей блошиной модели имеет весьма сложную структуру. При b 1,5 движение блохи периодическое — она регулярно перескакивает с одной ветки на другую. На линиях B₁B₁' характер движения меняется скачком, так как число ветвей удваивается. Это очень типичное для нелинейных систем явление называется бифуркацией (от слова bifurcate — раздваиваться, разветвляться). При увеличении b наша система переходит через последовательность бифуркаций в область хаотического движения (для блохи хаос означает свободу; увеличивая свою постоянную, она может перейти из «царства необходимости» в «царство свободы»).