Новый Мир ( № 12 2007)

Гипотезу, что справедливо первое из этих утверждений, называютгипотезой континуумаили

континуум-гипотезой,а требование доказать или опровергнуть эту гипотезу —проблемой континуума. В 1877 году Кантор объявил, что континуум-гипотеза представляет собою математическую истину, и с 1879 года начал отдельными порциями публиковать трактат, имеющий целью эту истину доказать. Статья с шестой порцией была завершена 15 ноября 1883 года. Она содержала доказательство того факта, что промежуточное множество заведомо отсутствует в определённом классе множеств (а именно в классе замкнутых множеств), а также обещание в последующих статьях доказать, что такого множества вообще не существует, — то есть доказать гипотезу в её полном объёме. Однако обещанных последующих статей не последовало. Кантор осознал, что он не может доказать континуум-гипотезу, и в мае 1884 года у него случился первый приступ нервной болезни. В середине XX века было установлено, что ни доказать, ни опровергнуть континуум-гипотезу невозможно. Здесь мы остановимся из страха повторить судьбу Кантора.

На языке лингвистики то, чем мы занимались в этой главе, есть семантика количественных числительных. При этом выяснилось, что привычный бесконечный ряд “конечных” числительных: один, два, три, … , сорок восемь, … , две тысячи семь, … — может быть дополнен “бесконечным” числительным алеф-ноль —

Но ведь бывают и числительные порядковые: первый, второй, третий и т. д. Вкратце поговорим и о них. Как количественное числительное есть словесное выражение (имя)

количественного числа(оно жекардинальное число,оно же

мощность), так порядковое числительное есть словесное выражение (имя)порядкового числа. Чтобы отличать порядковые числа от количественных, будем обозначать их — в конечном случае (а про бесконечный мы пока ничего не знаем) — римскими цифрами, как это и принято в русской орфографии. Ведь мы пишем “Генрих VIII”, а не “Генрих 8”. Порядковое число — это особая сущность, для которой сейчас будет предложено не определение (что перегрузило бы изложение), а ассоциативная иллюстрация. С этой целью обращусь к своим детским ощущениям — ещё более ранним, чем кошмар, упомянутый в самом начале данной главы. В свои студенческие годы я с изумлением узнал, что эти ощущения испытал не только я.