О творчестве в науке и технике

В заключение данного цикла барьеров приведем еще следующий, который нередко ставит в тупик опрашиваемого, поскольку его преодоление (решение задачи) требует быстрого переключения от одного порядка вычислительных операций к совершенно другому. Задача: «Я буду называть вам подряд целые числа, а вы быстро говорите, чему они равны в квадрате. Считаю: один в квадрате?» Ответ: «Один». — «Два в квадрате?» — «Четыре». — «Три в квадрате?» — «Девять». — «Четыре в квадрате?» — «Шестнадцать». — «Пять?» — «Двадцать пять». — «Шесть»? — «Тридцать шесть». — «Угол?» Встречный недоуменный вопрос: «Как это угол?». Мое пояснение: «Да вот так. Чему равен угол в квадрате?» Снова встречный вопрос: «Да как же его можно возвести в квадрат (то есть умножить на самого себя)?» И далеко не сразу испытуемый догадывается, что здесь совершается переход от арифметического действия к геометрическим представлениям и что ответом будет: «90 градусов». Достаточно долгая операция возведения целых чисел в квадрат закрепляет барьер, что выражение «в квадрате» имеет только один смысл, а именно: «умноженное само на себя», что явно бессмысленно в отношении угла.

Барьеры замыкания. Это такие барьеры, которые предполагают, что задача должна решаться в определенных рамках и не выходить за их пределы, в то время как преодоление такого рода барьеров состоит именно в выходе за эти рамки.

Хорошо известна задача на 9 точек, которую я решил еще студентом, а потом в 20-х и 30-х годах широко использовал как модель для выяснения сообразительности людей. В наше время эту задачу исследовал и применил в своих работах психолог Я. Пономарев, а потому я на ней здесь подробнее останавливаться не буду. Она состоит в том, что задано 9 точек предлагается соединить их одной непрерывной ломаной линией из четырех отрезков, иначе говоря, соединить их подряд четырьмя линиями, не отрывая карандаша от бумаги. Это сделать невозможно, если не выходить за их пределы, то есть за пределы квадрата, ограниченного этими точками. Решение достигается путем преодоления навязанного нам барьера замыкания.

Выходя движением карандаша за рамки точечного квадрата, мы можем легко соединить все 9 точек ломаной линией из четырёх отрезков.

Подсказкой-трамплином может служить замена слов «соединить точки» словами «провести через них прямые линии». Слово «соединить» говорит о том, что линии надо проводить только внутри квадрата или по его сторонам, не выходя за его пределы, иначе говоря, соблюдая навязанный наперед «барьер замыкания». Слово же «провести» допускает проведение соединительной линии за пределы квадрата.

Барьер замыкания фигурирует и в другой задаче аналогичного рода: даны четыре одинаковых между собою равносторонних треугольника. Надо соединить их в одну геометрическую фигуру, с тем чтобы у каждой пары треугольников одна сторона была бы общей. Первые попытки решения такой задачи на плоскости оказываются неудачными. Ее решению мешает барьер, предполагающий, что необходимо решать задачу именно на плоскости. Только выходя за два измерения в третье, преодолевая барьер замыкания, задачу можно решить путем построения тетраэдра.

Можно привести еще пример барьера замыкания. Задача: «Как построить дом, чтобы все его окна выходили на юг и не могли бы выходить на север?» Очевидно, что, находясь в любом пункте земной поверхности, на любой широте и долготе, эту задачу решить нельзя. Для этого необходимо выйти за пределы обычных географических представлений и строить (мысленно) дом там, где широта и долгота отсутствуют, то есть равны 0. Это — Северный полюс.

Такого же рода задача может быть задана и по-другому: «Как построить дом, чтобы все его окна выходили на север и не могли бы выходить на юг?» Ответ: «На Южном полюсе».

Барьеры недоговоренности или подразумевания. Задачи и загадки с такими барьерами строятся таким образом, что решающее условие явно не называется, но подразумевается в соответствии с обычной разговорной речью. На самом же деле имеется в виду нечто совершенно другое, чем может подразумеваться.

Задача: на берегу реки сидит рыбак с удочкой. Около него одноместный челнок. К реке подошли двое и просят рыбака перевезти их на другую сторону. Он соглашается при условии, что в челноке будет сидеть только один человек и что после переезда подошедших челнок будет доставлен на прежнее место. Как может быть решена эта задача?

Барьер здесь состоит в том, что по ходу рассказа создается впечатление, что оба желающие переправиться через реку подошли к ней с одной стороны (где сидит рыбак). В действительности же они подошли с противоположных сторон, а потому вполне могут выполнить условие, поставленное перед ними рыбаком. Барьер преодолевается здесь тем, что получивший задачу догадывается, как надо понимать предложение: «К реке подошли двое».

Другой аналогичный барьер — барьер недоговоренности. Спрашивается: на чем утром ходят, днем сидят, вечером отдыхают, а ночью спят?