Опционы

Ранее мы выражали степень концентрированности капитала путем расчета коэффициента вариации весов различных комбинаций, входящих в состав портфеля (раздел 4.3.2, таблица 4.3.2). Поскольку сейчас мы обрабатываем большой массив данных (6448 портфелей для каждого из семи показателей распределения капитала) целесообразно будет ввести другой, более удобный и статистически более обоснованный показатель. Назовем его «индекс концентрированности портфеля».

Продемонстрируем расчет индекса концентрированности на примере данных таблицы 4.3.2 и двух показателей, математического ожидания прибыли и дельты. На основе каждого из этих двух показателей был сформирован портфель, состоящий из 20 комбинаций. Данные портфели отличаются друг от друга только набором весов w

, в соответствии с которыми распределяется капитал между комбинациями. Для каждого портфеля отсортируем все комбинации по весу инвестированного в них капитала. Рассчитаем кумулятивную пропорцию капитала для двух комбинаций с наибольшим весом, затем для трех комбинаций и так далее до 20-й комбинации. Построим функцию зависимости кумулятивной пропорции от пропорции комбинаций в портфеле (отношение числа комбинаций, для которых было рассчитано данное значение кумулятивной функции к общему количеству комбинаций в портфеле). Например, для портфеля, сформированного по показателю «математическое ожидание прибыли», три комбинации с наибольшими весами имеют суммарный вес 0,34 (значение функции кумулятивной пропорции). Соответствующее этому весу значение пропорции комбинаций в портфеле равно 3/20 = 0,15. Это означает, что 34 % капитала сосредоточено в 15 % комбинаций.

На рис. 4.4.6 показаны две функции кумулятивной пропорции, соответствующие показателям «математическое ожидание прибыли» и «дельта» (данные взяты из таблицы 4.3.2). Используя эти функции, можно рассчитать, в каком проценте комбинаций (от общего числа комбинаций в портфеле) сосредоточено 50 % капитала. Это и будет значением индекса концентрированности портфеля. Для показателя «математическое ожидание прибыли» индекс равен 0,25, а для дельты он равен приблизительно 0,42. Это означает, что при распределении капитала по матожиданию прибыли 50 % капитала оказалось вложенным в 25 % комбинаций, а при формировании портфеля по показателю дельты половина капитала была вложена в 42 % комбинаций. Следовательно, в данном примере использование показателя «математическое ожидание прибыли» приводит к более концентрированному распределению капитала и, соответственно, созданию менее диверсифицированного портфеля.

Используя эту методику, мы рассчитали значения индекса концентрированности для каждого из 6448 портфелей, сформированных на исследуемом историческом периоде с помощью одного из семи показателей. Для того чтобы сравнить степень концентрированности капитала при формировании портфеля с помощью разных показателей, мы построили частотное распределение индекса концентрированности для каждого отдельно взятого показателя (рис. 4.4.7).

Когда капитал распределялся по показателям, не связанным с оценкой доходности и риска, распределение значений индекса концентрированности портфеля имеет вид, близкий по форме к нормальному (два верхних графика рис. 4.4.7). При распределении капитала обратно пропорционально премии приблизительно в 8 % случаев половина капитала оказалась вложенной в 16–17 % комбинаций. Когда портфель формировался по принципу эквивалентности позиции в акциях, в 7%случаев половина капитала была сконцентрирована в 15–20 % комбинаций. Экстремальные случаи, когда половина капитала была вложена в 1–3 % комбинаций были крайне редки (не более 2 % от общего количества сформированных портфелей).

Для тех портфелей, которые формировались с помощью показателя «математическое ожидание прибыли», распределение индекса концентрированности явно ненормально (левый средний график рис. 4.4.7). Чаще всего (9–11 % случаев) капитал был сконцентрирован в 1–2 % комбинаций. Портфели, в которых половина капитала была распределена в более 15 % комбинаций, были крайне редки (менее 4 % случаев).

При формировании портфеля по показателю «вероятность получения прибыли» распределение индекса концентрированности напоминает по форме равномерное распределение (правый средний график рис. 4.4.7). С частотой приблизительно равной 6 %, половина капитала инвестировалась в 3 % комбинаций, 4 % комбинаций и так далее до порядка 15 % комбинаций. По определению равномерное распределение характеризуется одинаковой частотой исходов для всех значений исследуемой переменной. Однако в данном случае распределение не является полностью равномерным, поскольку значения индекса концентрированности, лежащие в диапазоне от 15 % комбинаций и выше, встречаются с убывающей частотой.