Приглашение в теорию чисел

Существует множество видов игр с числами, некоторые из которых были известны еще в средние века. Большинство из них не представляет интереса для теории чисел, скорее всего, они подобно магическим квадратам принадлежат к классу кроссвордов с числами. Некоторые из них проиллюстрируем примерами.

Перед вами телеграмма, посланная школьником домой, с настоятельной просьбой:

  S E N D

  M O R E

_________

M O N E Y[11]

Будем рассматривать эту схему, как сложение двух четырехзначных чисел SEND и MORE, в сумме дающих число MONEY. Каждая буква означает определенную цифру. Задача состоит в том, чтобы определить, какие это цифры. Так как всего 10 цифр, то в каждой такой задаче может фигурировать не более 10 букв, в этом примере 8. В идеальном случае задача должна иметь единственное решение.

В нашем примере очевидно, что M = 1, так как М — первая цифра либо суммы S + М, либо S + M+1, где S и М — числа, не превосходящие числа 9. Тогда для числа S имеются две возможности:

S = 9 или S = 8,

так как либо S + 1, либо S + 1 + 1 есть двузначное число. Установим сначала, что S не может быть цифрой 8, ибо, если бы S было 8, то должен был бы быть перенос из колонки сотен, что дает

S + M + 1 = 8 + 1 + 1 = 10

при сложении в колонке сотен. Следовательно, О должно было бы быть нулем и наше послание читалось бы так:

  8 Е N D

  1 0 R Е

_________

1 0 N Е Y

Но, исследуя колонку сотен, находим, что обязательно должен быть перенос из колонки десятков (иначе Е + 0 = Е, а не N), и так как Е ≤ 9, то

E + 0 + 1 = 10.

Это вынудило бы нас положить N = 0, но мы уже знаем, что О = 0, поэтому такой случай невозможен, и мы заключаем, что S = 9, и послание теперь читается так:

  9 Е N D

  1 0 R E 

_________

1 0 N Е Y

Так как Е ≠ N, то сложение в колонке сотен приводит к условию E + 1 = N,

и

  9  Е E+1 D

  1  0  R Е

____________

1 0 E+1 Е Y

Сложение в колонке десятков дает либо

E + 1 + R = 10 + E, либо E + 1 + R + 1 = 10 + E.

Первый случай невозможен, так как он дает R

= 9, что противоречит тому, что S = 9. Во втором случае R = 8, и послание читается так:

  9  Е Е+1 D

  1  0  8  E

____________

1 0 E+1 Е  Y

И наконец, сумма в колонке единиц такова:

D + E = 10 + Y.

Для трех букв D, E, Y остаются только значения 2, 3, 4, 5, 6, 7. Наибольшая сумма двух различных чисел из них равна 13. Отсюда существует всего две возможности для Y: либо Y = 2, либо Y = 3. Последний случай невозможен, так как при этом D + E = 13, но мы не можем иметь E = 7, так как тогда N = E + 1 = 8 = R; также не может быть D = 7, так как тогда E = 6 и N = E + 1 = 7 = D.

Таким образом, Y = 2 и D + E = 12. Из имеющихся цифр 2, 3, 4, 5, 6, 7 единственной парой, в сумме дающей 12, являются 5 и 7. Так как

Е ≠ 7, то это означает, что D = 7, Е = 5 и, таким образом, единственное решение нашей задачи следующее:

  9 5 6 7

  1 0 8 5

_________

1 0 6 5 2

Этот процесс довольно сложен, во многих случаях можно получить решение гораздо более простым путем.

Система задач 6.6.

1. Попытайтесь проанализировать следующие при-

меры только что показанным методом:

1. S Е N D

   M O R E

   G O L D

 _________

 M O N E Y

2. H O C U S

   P O C U S

 ___________

 P R E S T O

3. F O R T Y

       T E N

       T E N

   _________

   S I X T Y

4

. A D A M

     A N D

     E V E

         A

   _______

   R A F T

5. S E E

   S E E

   S E E

   Y E S

 _______

 E A S Y

Переводы этих ребусов таковы:

1. «Шлите больше золотых монет», 2. «Фокус — Покус — Престо», 3. «Сорок + десять + десять = шестьдесят», 4. «Адам и Ева на плоту», 5. «Смотри, смотри, смотри. Да! Легко».

Если хотите, попробуйте придумать свои ребусы. Если вы знакомы с ЭВМ, то попытайтесь запрограммировать решение таких задач.

ГЛАВА 7

СРАВНЕНИЯ

§ 1. Определение сравнения

Теория чисел имеет свою алгебру, известную, как теория сравнений. Обычная алгебра первоначально развивалась как стенография для операций арифметики. Аналогично, сравнения представляют собой символический язык для делимости, основного понятия теории чисел. Понятие сравнения впервые ввел Гаусс.

Прежде чем мы обратимся к понятию сравнения, сделаем одно замечание о числах, которые будем изучать в этой главе. Мы начали эту книгу, заявив, что будем рассматривать целые положительные числа 1, 2, 3…, и в предыдущих главах мы ограничивались только этими числами и дополнительным числом 0. Но теперь мы достигли стадии, на которой целесообразно расширить наши границы, рассматривая все целые числа:

0, ±1, ±2, ±3….

Это никоим образом не повлияет на наши предыдущие понятия; далее, когда мы будем говорить о простых числах, делителях, наибольших общих делителях и тому подобном, мы будем считать их целыми положительными числами.

Теперь вернемся к языку сравнений. Если а и b — два целых числа и их разность а — b делится на число m, мы выражаем это записью

a ≡ b (mod m) (7.1.1)